귀여운 촌아의 작은상자

열역학 4-109.docx

열역학 Thermodynamics 5th Edition.

Fundamentals and Applications

-Yunus A. Cengel

-Michael A. Boles

-부준홍 김덕줄 김세웅 김수현 신세현 이교우 정우남 최경민 공역

McGraw-Hill

문제 4-109

선형 스프링이 피스톤에 접촉해 있는 피스톤-실린더 기구의 공기에 열을 전달하여 팽창할 때,

공기가 한 일과 스프링에 한 일을 구하고 P-v 선도에 나타낸다.

가정: 피스톤-실린더 기구는 밀폐되어 있고, 마찰 및 운동에너지, 위치에너지 변화가 없다.

실린더 내부의 공기는 이상기체로 간주하며 실린더의 단면적은 일정하다. 주어진 과정은 준평형 과정이다.

풀이: 피스톤에 접촉하고 있는 선형 스프링은 피스톤-실린더 기구에 열이 전달되어 공기가 팽창하면서 힘이 가해진다.

이때 피스톤-실린더 기구의 피스톤 단면적은 일정하므로 관계식은 아래와 같다.

따라서 압력과 체적은 비례관계에 있으며 위 식을 정리하면 아래와 같다.

위 식을 체적에 대해 미분하면

기울기가 상수인 1차식임을 알 수 있고, 공기의 처음 상태와 최종 상태의 압력, 체적을 이용하여 기울기를 구하면 다음과 같다.

(a) 그러므로 압력-체적 관계식은 아래와 같고, 이를 적분하여 공기가 한 일을 계산할 수 있다.

매트랩 matlab을 이용하여 P-v 선도에 나타내면 아래와 같다.

이때 위에서 구한 공기가 한 일은 선형 스프링에 한 일과 스프링이 없을 때 공기가 한 일의 합이므로 아래와 같다.

따라서 스프링에 한 일은 아래와 같이 적분되며 스프링의 처음 위치는 0m이므로 아래와 같다.

이때 체적과 선형 스프링 변위 사이의 관계식을 이용하면 아래와 같으므로

(b) 선형 스프링에 한 일은 아래와 같이 계산된다.