매트랩 Matlab을 이용한 핀 휜 pin fin 미분방정식 Differential Equation 풀이

핀 휜 열전달 미분방정식 풀이.docx

PinFin_HeatTransfer_DE.m

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매트랩 Matlab을 이용한 핀 휜 pin fin의 열전달 미분방정식 Differential Equation 풀이

매트랩을 이용하여 핀 pin 휜 fin의 열전달 미분방정식을 풀고, 온도분포식을 구한다.

환경:   OS – Windows 7 Ultimate K SP1 64bit

MATLAB – R2016a (9.0.0341360) 64-bit

가정: 핀 pin 휜 fin의 단면적은 일정하고 단면 방향의 온도는 일정하다. 휜 바닥의 온도와 주위 공기의 온도, 대류열전달계수, 휜의 열전도도, 휜의 길이는 일정하고 균일한 값을 가진다. 휜은 원통형이라고 가정하며 복사에 의한 열전달과 열발생 등은 고려하지 않는다. 주어진 열전달 과정은 정상상태 이다.

풀이: 임의의 위치 x에서 미소 길이가 Δx인 체적요소 ΔV의 온도가 T인 휜을 고려할 때, 정상상태에 대한 체적요소 계의 에너지 평형식은 다음과 같다.

주어진 휜 체적요소는 대류와 전도에 의해 열전달이 일어나므로 에너지 평형식은 아래와 같고,

이때 휜 체적요소의 대류에 의한 외부로의 열전달률은 아래와 같으므로

에너지 평형식은 아래와 같이 정리할 수 있다.

여기에 Δx에 대해 극한을 취하면 다음과 같이 미분식으로 변환할 수 있다.

이때 전도 열전달률은 아래와 같으므로

위의 미분식은 다음과 같이 정리할 수 있다.

휜의 온도와 외부 공기 온도의 차를 다음과 같다고 할 때,

휜의 미분방정식은 아래와 같이 간단히 나타낼 수 있다.

즉, 휜의 양 끝에 대한 경계조건이 주어진 미분방정식이며, 휜 바닥(x=0)에서의 경계조건은 다음과 같고,

휜 끝(x=L)에서의 4가지 경계조건은 각각 다음과 같다.

Case 1: 무한히 긴 휜

휜의 길이가 충분히 길어서 휜 끝의 온도가 주위 공기 온도와 같다고 할 수 있는 경우에 휜 끝 온도의 경계조건은 다음과 같다.

Case 2: 단열된 휜 끝

휜 끝이 단열된 경우 휜 끝에서의 경계조건은 휜 끝의 에너지 평형식에서 구할 수 있다.

Case 3: 휜 끝 특정 온도

휜 끝의 온도를 알고 있거나 특정 온도로 고정되어 있을 때 경계조건은 다음과 같다.

Case 4: 휜 끝 대류 열전달

휜 끝에 대류 열전달이 일어나는 경우 휜 끝에서의 경계조건은 휜 끝의 에너지 평형식에서 구할 수 있다.

결과: 위의 경계조건을 고려하여 매트랩 프로그램에서 m-file을 작성하면 아래와 같다.

이를 실행하면 매트랩의 명령창 command window에 나타나는 결과는 아래와 같다.

1번 경우에 대한 온도 분포 식

검토에 계속

2번 경우에 대한 온도 분포 식

3번 경우에 대한 온도 분포 식

4번 경우에 대한 온도 분포 식

검토: 결과를 검토해보면 1번 경우(무한히 긴 휜)에 대한 온도분포 미분방정식 풀이가 제대로 되지 않았음을 알 수 있으며 이는 D 경우 경계조건의 무한대 값(코드의 Inf: ∞)에 의한 것임을 알 수 있다. 따라서 dsolve() 함수를 이용하여 미분방정식을 해결한 뒤 limit() 함수를 이용하여 휜의 길이가 매우 긴 경우에 대해 수식을 아래와 같이 정리한다.

하지만 결과를 다시 살펴보면 limit() 함수가 제대로 풀이되지 않음을 알 수 있다.

이는 심볼릭 변수 m에 의한 것으로 m의 값에 따라 극한의 값이 달라질 수 있기 때문이다. 하지만 m의 값은 항상 양수 이므로 다음과 같이 수정하면 올바르게 결과를 얻을 수 있다.

결과: 각각의 휜 끝 조건에 대한 온도분포식은 다음과 같다.

1번 경우에 대한 온도 분포 식

2번 경우에 대한 온도 분포 식

3번 경우에 대한 온도 분포 식

4번 경우에 대한 온도 분포 식