귀여운 촌아의 작은상자

열전달 4-127.docx

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

Fundamentals and Applications

-YUNUS A. CENGEL

-AFSHIN J. GHAJAR    

-유성연, 김경훈, 김병철, 김창녕, 이종붕, 조형희 공역

McGraw-Hill

문제 4-127

재질을 제외한 모든 조건과 가정은 문제 4-127과 같다.

가정: 모든 주철 물체는 1차원 열전달이고, 주철의 열적 물성치와 대류열전달계수는 일정하고 균일하다.

풀이: 각각의 형태에 따른 비오트 수(Biot Number, Bi)와 10분 후에 대한 푸리에 수(Fourier Number, τ)는 다음과 같다.

푸리에 수 τ가 0.2보다 크므로 단항 근사해법(one term approximation)을 사용할 수 있다.

따라서 Bi수에 따른 단항 근사해법(one term approximation) 계수의 값을 표 TABLE 4-2를 참고하여 각각의 형태에 따른 중심온도는 다음과 같다.

판 형태:

원통 형태:

구 형태:

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열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

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-유성연, 김경훈, 김병철, 김창녕, 이종붕, 조형희 공역

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문제 4-126

황동 물체의 판, 원통, 구 형태에 따른 중심온도를 구한다.

가정: 모든 황동 물체는 1차원 열전달이다. 황동의 열적 물성치와 대류열전달계수는 일정하고 균일하다.

풀이: 각각의 형태에 따른 비오트 수(Biot Number, Bi)와 10분 후에 대한 푸리에 수(Fourier Number, τ)는 다음과 같다.

푸리에 수 τ가 0.2보다 크므로 단항 근사해법(one term approximation)을 사용할 수 있다.

따라서 Bi수에 따른 단항 근사해법(one term approximation) 계수의 값을

표 TABLE 4-2를 참고하여 각각의 형태에 따른 중심온도는 다음과 같다.

판 형태:

원통 형태:

구 형태:

30분 후에 대한 중심온도는 다음과 같다.

판 형태:

원통 형태:

구 형태:

구 형태의 황동 물체가 가장 낮은 이유는 물체가 외부로 열전달이 일어나는 열전달 매체가 대류로만 일어나기 때문에

단위 부피 당 표면적이 가장 넓은 구 형태의 황동 물체가 온도가 가장 낮다.

열전달 4-94.docx

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문제 4-94

가정: 원통 얼음의 열전도는 축 방향과 반경 방향의 2차원 열전도이다.

얼음의 물성치와 열전달계수는 일정하고 균일하다.

풀이: 원통의 바닥면은 책상에 닿아있고, 이때 책상으로부터의 열전달은 무시한다.

따라서 바닥면은 단열된 것으로 생각할 수 있고, 이는 높이 2cm의 원통은 바닥면을 기준으로 대칭인 높이 4cm의 원통 얼음으로 생각할 수 있다.

그러므로 원통 얼음은 두께 2L=4cm인 무한 평판과 반지름 ro=1cm인 긴 원통에 대한 해를

product solutions을 이용하여 온도 분포에 대한 해를 다음과 같이 구할 수 있다.

각 평판에 대한 비오트 수(Biot Number) Bi는 다음과 같다.

푸리에 수(Fourier Number) τ는 다음과 같다.

푸리에 수(Fourier Number) τ를 0.2보다 크므로 단항 근사해법(one term approximation)을 이용할 수 있고,

Bi수에 따른 판형과 원통형 비정상 1차원 열전도의 단항 근사해법(one term approximation) 계수의 값을 표 TABLE 4-2를 참고하면 다음과 같다.

원통 얼음이 3시간 동안 전혀 녹지 않았으므로 원통 얼음의 모서리의 온도가 3시간 후에 최소한 0℃ 이상이어야 한다.

따라서 온도분포 식은 다음과 같다.

위의 식을 계산하기 위해 1종 0차 베셀 Bessel 함수를 1종 0차, 1차 베셀 함수값 표

The zeroth- and first-order Bessel function of the first kind TABLE 4-3을 참고하면 다음과 같다.

따라서 얼음의 초기 온도는 다음과 같이 계산된다.

열전달 4-91.docx

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문제 4-91

가정: 핫도그가 유한 길이의 원통 또는 무한 길이의 원통으로 가정할 때 축 방향과 반경 방향으로의 2차원 열전도가 일어난다.

따라서 핫도그의 온도는 축 방향과 반경 방향의 2차원으로 변한다.

핫도그의 물성치와 열전달계수는 일정하고 균일하다.

풀이: (a) 핫도그를 유한 길이의 원통으로 가정할 때 반두께 6cm의 무한 평판과

반지름 1cm의 무한 길이 원통에 대한 해를 product solution을 이용하여 중심 온도를 구할 수 있다.

따라서 유한 길이의 원통으로 가정한 핫도그의 온도분포는 다음과 같다.

이때 무한 평판과 무한 길이 원통 대한 비오트 수(Biot Number) Bi는 다음과 같고,

Bi수에 따른 판형, 원통형 비정상 1차원 열전도의 단항 근사해법(one term approximation) 계수의 값을 표 TABLE 4-2를 참고하면 다음과 같다.

이때 각 시간에 따른 무한 평판의 푸리에 수(Fourier Number) τ는 다음과 같다.

푸리에 수(Fourier Number) τ가 0.2보다 작으므로 단항 근사해법(one term approximation)의 결과를 신뢰하기 힘들다.

오차를 감안하고 무한 평판의 각 시간에 따른 중앙면의 온도분포 식을 계산하면 다음과 같다.

각 시간에 따른 무한 길이 원통의 푸리에 수(Fourier Number) τ는 다음과 같다.

푸리에 수(Fourier Number) τ가 0.2보다 크기 때문에 단항 근사해법(one term approximation)를 이용할 수 있다.

따라서 무한 길이 원통의 각 시간에 따른 중앙의 온도분포 식을 계산하면 다음과 같다.

따라서 유한 원통으로 가정한 핫도그의 각 시간에 대한 중심 온도는 다음과 같이 계산된다.

5분 후 중심온도

10분 후 중심온도

15분 후 중심온도

(b) 핫도그를 무한 길이 원통으로 가정하면

위에서 계산에서 이용한 무한 평판의 무차원 온도에 대한 해를 고려하지 않으면 되므로 다음과 같이 계산된다.

5분 후 중심온도

10분 후 중심온도

15분 후 중심온도

계산 결과 두 가정 및 결과값의 차가 크지 않은 것을 알 수 있다.

열전달 4-90.docx

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문제 4-90

가정: 반무한 원통은 축 방향과 반경 방향으로의 2차원 열전도가 일어난다.

따라서 원통의 온도는 축 방향과 반경 방향의 2차원으로 변한다.

원통의 물성치와 열전달계수는 일정하고 균일하다.

풀이: 알루미늄 반무한(semi-infinite) 원통은 지름 15cm인 무한 원통과 반무한체의 교차로 구성된 것으로 생각할 수 있다.

따라서 무한 원통에 대한 해와 반무한체에 대한 해를 product solution 이용하여 중심온도를 구할 수 있다.

그러므로 반무한 원통의 온도분포는 다음과 같다.

무한 원통에 대한 푸리에 수(Fourier Number) τ와 비오트 수(Biot Number) Bi는 다음과 같다.

푸리에 수(Fourier Number) τ가 0.2보다 크므로 단항근사해법(one term approximation)을 적용할 수 있으므로

Bi수에 따른 원통형 비정상 1차원 열전도의 단항 근사해법(one term approximation) 계수의 값을 표 TABLE 4-2를

이용하여 중심에 대한 온도분포식을 계산하면 다음과 같다.

다음으로 문제에 주어진 조건에서 반무한체의 경계조건은 표면 상부의 대류로 주어져 있다.

따라서 반무한체에 대한 온도분포는 식 4-47을 이용한다.

따라서 끝 면에서 5cm 떨어진 지점에 대한 온도분포식은 다음과 같다.

각 항의 값을 먼저 계산하면 다음과 같다.

그러므로 지수 함수 값과 보충 오차함수(complementary error function)의 값을 보충 오차함수표 TABLE 4-4를 이용하여 구하면 다음과 같다.

따라서 반무한체의 표면에서 5cm 떨어진 지점에 대해 다음과 같이 계산된다.

그러므로 반무한 원통의 5cm 되는 지점의 온도는 다음과 같다.

열전달 4-88.docx

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문제 4-88

가정: 황동 원통은 반지름 방향과 축 방향으로의 2차원 열전달이 일어나므로 2차원적으로 온도가 변화한다.

황동 원통의 물성치와 열전달계수는 일정하고 균일하다.

풀이: 황동 원통은 무한 평판과 긴 원통에 대한 해를 이용하여 구할 수 있으며, 따라서 비정상 온도분포는 다음과 같다.

따라서 15분 후에 대한 푸리에 수(Fourier Number) τ와 비오트 수(Biot Number) Bi는 다음과 같다.

(a) 푸리에 수(Fourier Number) τ가 모두 0.2보다 크므로 모두 단항근사해법(one term approximation)을 적용할 수 있다.

그러므로 Bi수에 따른 판, 원통형 비정상 1차원 열전도의 단항 근사해법(one term approximation) 계수의 값을 표 TABLE 4-2를

이용하여 원통 중심의 온도를 계산하면 다음과 같다.

(b) 황동 원통의 윗면 중심온도는 평판의 외부면(z=L)이면서 긴 원통의 중심(r=0)이다.

나머지 조건은 그대로 이므로 비정상 온도본포식과 윗면의 중심온도는 다음과 같다.

푸리에 수(Fourier Number) τ와 비오트 수(Biot Number) Bi가 같으므로 윗면의 중심온도는 다음과 같이 계산된다.

(c) 15분 동안 총 열전달량을 구하기 위해 먼저 최대 열전달량을 구하면 다음과 같다.

황동 원통은 2차원 열전달이므로 열전달비 식은 다음과 같다.

따라서 무한 평판에 대한 열전달비는 다음과 같이 계산된다.

긴 원통에 대한 열전달비는 1종 1차 베셀 Bessel 함수값 표 The zeroth- and first-order Besel functions of the first kind TABLE 4-3을

참고하여 다음과 같이 계산된다.

그러므로 황동 원통의 총열전달량은 다음과 같다.

열전달 4-87.docx

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문제 4-87

가정: 문제 4-86과 모든 조건이 같으며, 윗면과 밑면의 열전달계수의 값만 다르다.

풀이: 정육면체 블록의 경우 3개의 무한 평판에 대한 해를 이용하여 구할 수 있으며, 따라서 비정상 온도분포는 다음과 같다.

이때 윗면과 밑면의 축을 z라고 했을 때 각 축의 10분 후에 대한 푸리에 수(Fourier Number) τ와 비오트 수(Biot Number) Bi는 다음과 같다.

20분, 60분에 대한 푸리에 수(Fourier Number) τ 또한 0.2보다 크므로 모두 단항근사해법(one term approximation)을 적용할 수 있고,

x축과 y축은 모든 조건이 같으므로 비정상 온도분포 식은 다음과 같다.

그러므로 Bi수에 따른 판형 비정상 1차원 열전도의 단항 근사해법(one term approximation) 계수의 값을 표 TABLE 4-2를

이용하여 10분 후 정육면체 블록의 중심부 온도는 다음과 같다.

20분 후 정육면체 블록의 중심부 온도는 다음과 같다.

60분 후 정육면체 블록의 중심부 온도는 다음과 같다.

원통 블록의 경우 길이와 지름이 같고 짧은 원통으로 생각할 수 있다.

따라서 평면 벽과 긴 원통에 대한 1차원 해를 이용하여 구할 수 있으며, 따라서 비정상 온도분포는 다음과 같다.

이때 윗면과 밑면은 원통의 축 방향으로 무한 평판의 외부면이다.

따라서 각 축의 10분 후에 대한 푸리에 수(Fourier Number) τ와 비오트 수(Biot Number) Bi는 다음과 같다.

20분, 60분에 대한 푸리에 수(Fourier Number) τ 또한 0.2보다 크므로 모두 단항근사해법(one term approximation)을 적용할 수 있고,

그러므로 Bi수에 따른 원통형 비정상 1차원 열전도의 단항 근사해법(one term approximation) 계수의 값을 표 TABLE 4-2를

이용하여 10분 후 원통 블록의 중심부 온도는 다음과 같다.

20분 후 원통 블록의 중심부 온도는 다음과 같다.

60분 후 원통 블록의 중심부 온도는 다음과 같다.

열전달 4-86.docx

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

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문제 4-86

가정: 정육면체 블록은 3차원 방향으로 열전달이 일어나며,

원통 블록의 경우 축, 반지름 방향의 2차원적으로 열전달이 일어나므로 각각 3차원, 2차원적으로 온도가 변화한다.

블록들의 물성치와 열전달계수는 일정하고 균일하다.

풀이: 정육면체 블록의 경우 3개의 무한 평판에 대한 해를 이용하여 구할 수 있으며, 따라서 비정상 온도분포는 다음과 같다.

10분 후에 대한 푸리에 수(Fourier Number) τ와 비오트 수(Biot Number) Bi는 다음과 같다.

20분, 60분에 대한 푸리에 수(Fourier Number) τ 또한 0.2보다 크므로 모두 단항근사해법(one term approximation)을 적용할 수 있다.

또한 육면체 블록은 가로, 세로, 높이의 길이와 물성치가 모두 일정하므로 비정상 온도분포 식은 다음과 같다.

그러므로 Bi수에 따른 판형 비정상 1차원 열전도의 단항 근사해법(one term approximation) 계수의 값을 표 TABLE 4-2를

이용하여 10분 후 정육면체 블록의 중심부 온도는 다음과 같다.

20분 후 정육면체 블록의 중심부 온도는 다음과 같다.

60분 후 정육면체 블록의 중심부 온도는 다음과 같다.

원통 블록의 경우 길이와 지름이 같고 짧은 원통으로 생각할 수 있다.

따라서 평면 벽과 긴 원통에 대한 1차원 해를 이용하여 구할 수 있으며, 따라서 비정상 온도분포는 다음과 같다.

원통의 높이와 지름, 물성치가 같으므로 10분 후에 대한 푸리에 수(Fourier Number) τ와 비오트 수(Biot Number) Bi는 다음과 같다.

20분, 60분에 대한 푸리에 수(Fourier Number) τ 또한 0.2보다 크므로 모두 단항근사해법(one term approximation)을 적용할 수 있고,

그러므로 Bi수에 따른 원통형 비정상 1차원 열전도의 단항 근사해법(one term approximation) 계수의 값을 표 TABLE 4-2를

이용하여 10분 후 원통 블록의 중심부 온도는 다음과 같다.

20분 후 원통 블록의 중심부 온도는 다음과 같다.

60분 후 원통 블록의 중심부 온도는 다음과 같다.

열전달 4-15.docx

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

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문제 4-15

풀이: 평면벽 한 쪽면의 넓이가 A일 때 특성길이 관계식은 다음과 같다.

긴 원통의 표면적은 옆면의 면적만 고려하고, 원통의 길이를 B라고 할 때 특성길이 관계식은 다음과 같다.

구의 특성길이 관계식은 다음과 같다.