귀여운 촌아의 작은상자

매트랩을 이용한 미분.docx

매트랩 Matlab 프로그램을 이용한 미분

매트랩 Matlab의 미분 함수 diff()를 이용하여 주어진 식을 미분한다.

환경:   OS – Windows 7 Ultimate K SP1 64bit

MATLAB – R2016a (9.0.0341360) 64-bit

예시: 매트랩 Matlab의 명령창 Command Window에서 diff() 함수를 아래와 같이 사용할 수 있다.

설명: 매트랩의 diff() 함수는 아래와 같이 사용된다.

diff(f)

diff(f, x)

diff(f, x1, x2, …)

diff(f, x, n)

diff(diff(diff(diff(f), x1), x2), n)

위의 내용을 정리하면 diff() 함수의 인자는 반드시 함수식 하나를 입력 해야하고, 필요에 따라서 미분할 독립변수와 계수를 입력할 수 있다. diff() 함수에 사용할 함수식과 변수는 반드시 심볼릭 함수 Symbolic functions과 심볼릭 변수 Symbolic variables여야 한다. 또한 계수는 미분 계수이므로 반드시 0 이상의 자연수이다. diff() 함수는 위와 같이 중복 및 복합되어 사용할 수도 있다. 즉, diff() 함수는 다음과 같은 형식으로 사용된다.

diff([함수식:심볼릭 변수/함수], {독립변수:심볼릭 변수}, … , {계수:자연수}, …)

[인자] 대괄호 안의 인자는 반드시 입력되어야 하지만, {인자} 중괄호 안의 인자는 필요에 따라 사용 및 생략이 가능하다. 즉, diff() 함수에 함수식만 입력할 경우 매트랩에서 자동으로 독립변수를 선택하여 한번 미분 또는 편미분한다. 2계 미분 이상의 고계 미분은 아래와 같이 diff() 함수를 여러 번 사용하거나 추가 인자를 이용하여 아래와 같이 사용할 수 있다.

diff(diff(diff(f))) – 3계 미분

diff(diff(diff(f, x), x), x) – 3계 미분

diff(f, x, 3) – 3계 미분

diff(diff(f, x), 2) – 3계 미분

diff(diff(diff(f, x), 1)) – 3계 미분

diff() 함수로 미분하는 함수식은 아래와 같이 심볼릭 변수로 이루어진 식 또는 등식이거나

(매트랩에서 = 기호는 대입 연산자이므로 등식에서는 ‘같다’라는 의미의 == 기호를 사용해야한다.)

심볼릭 함수 Symbolic functions로 선언된 변수이여야 하므로 다음과 같이 사용할 수도 있다.

또한 상수 대신 심볼릭 변수를 이용한 미지 함수를 미분하거나

미지의 함수 자체를 diff() 함수를 이용하여 아래와 같이 미분 가능하다.

미지의 함수의 경우 위와 같이 미분 자체로 표현되며 이를 이용하여 미분방정식을 세울 수 있다. 예를 들어 다음의 2계 선형 상미분방정식의 경우 아래와 같이 매트랩에서 표현할 수 있다.

추가: diff() 함수의 다른 기능인 값의 차이를 구하는 부분은 설명을 생략하며, 이 부분에 대한 자세한 내용은 매트랩 Matlab의 도움말이나 공식 홈페이지의 문서를 참고하기 바랍니다.

열역학 4-123.docx

열역학 Thermodynamics 5th Edition.

Fundamentals and Applications

-Yunus A. Cengel

-Michael A. Boles

-부준홍 김덕줄 김세웅 김수현 신세현 이교우 정우남 최경민 공역

McGraw-Hill

문제 4-123

미지근한 물이 들어 있는 유리잔에 차가운 얼음 또는 물을 넣어 냉각시킬 때, 필요한 얼음 또는 물의 양을 계산한다.

가정: 유리잔의 물과 차가운 얼음 또는 차가운 물의 외부로의 열손실과 물의 증발은 고려하지 않는다.

물과 얼음의 비열, 그리고 대기압은 일정하다.

풀이: 냉각되는 미지근 물의 질량은 아래와 같으며

유리잔 안의 미지근한 물과 얼음 또는 차가운 물 전체를 계로 선택하면 외부로의 열전달과 질량 유량, 경계일 등이 없다.

따라서 에너지 평형은 다음과 같다.

이때 물과 얼음의 비열은 일정하고 최종 온도가 대기압 하에서 5℃이므로 얼음이 아닌 물만 존재하는 상태이다.

따라서 냉각을 위해 얼음을 넣는다면 얼음에서 물로 상변화 또한 존재하므로 위 식은 아래와 같다.

(a) 물과 얼음의 비열을 부록의 TABLE A-3 Properties of common liquids, solids, and foods를 참고하여

위 식에 각각 값을 대입하고 계산하면 0℃ 얼음을 넣을 때 필요한 양은 다음과 같다.

(b) 얼음의 온도가 -8℃일 때 필요한 얼음의 양은 다음과 같이 계산된다.

만약 얼음이 아닌 0℃의 물을 넣는다면 얼음에 대한 열전달이 없으므로 다음과 같이 계산된다.

열역학 4-122.docx

열역학 Thermodynamics 5th Edition.

Fundamentals and Applications

-Yunus A. Cengel

-Michael A. Boles

-부준홍 김덕줄 김세웅 김수현 신세현 이교우 정우남 최경민 공역

McGraw-Hill

문제 4-122

한 남자가 체온을 내리기 위해 냉수를 마셨을 때, 냉수에 의한 평균 체온 강하를 계산한다.

가정: 문제에 주어진 남자는 외부로의 열전달은 없다고 가정하며 신진대사에 의한 열발생도 없다고 가정한다.

인체의 평균 비열은 일정하며 마신 물의 비열 또한 일정하고 균일하다. 마신 냉수와 인체는 열적 평형을 이루고 있다.

풀이: 물의 밀도와 비열은 TABLE A-3을 참고하여 아래와 같고,

따라서 물의 질량은 아래와 같다.

이때 남자의 신체와 마신 냉수 전체를 계로 선택하면 열발생 및 열유입, 열유출이 없고 질량 변화, 경계일이 없다.

따라서 계의 에너지 평형식은 다음과 같다.

그러므로 신체와 마신 물의 최종 온도가 서로 같으므로 위의 에너지 평형식은 아래와 같고,

이 사람의 평균 체온 강하는 다음과 같다.