귀여운 촌아의 작은상자

PinFin_HeatTransfer_Ex1.m

핀 휜 열전달률 예제.docx

PinFin_HeatTransfer_Ex2.m

매트랩 Matlab을 이용한 핀 휜 pin fin의 열전달률 예제

매트랩 Matlab을 이용하여 핀 pin 휜 fin의 열전달 미분방정식을 풀어서 얻은 온도 함수식, 온도분포식을 이용하여 주어진 핀 휜에 대한 문제를 계산한다.

환경: OS – Windows 7 Ultimate K SP1 64bit

MATLAB – R2016a (9.0.0341360) 64-bit

문제: 열전달 문제 3-191의 문제를 매트랩 Matlab을 이용하여 푼다.

가정: 핀 pin 휜 fin의 단면적은 일정하고 단면 방향의 온도는 일정하다. 휜 바닥의 온도와 주위 공기의 온도, 대류열전달계수, 휜의 열전도도, 휜의 길이는 일정하고 균일한 값을 가진다. 휜은 원통형이라고 가정하며 복사에 의한 열전달과 열발생 등은 고려하지 않는다. 주어진 열전달 과정은 정상상태이다.

풀이: 문제에 주어진 핀 휜 pin fin은 아래와 같다.

서로 다른 휜 끝의 경계조건에 대한 위치에 따른 휜 온도 그래프와 열전달률을 계산한다.

(심볼릭 변수와 subs(), eval() 함수 등의 사용을 최소화하기 위해 위와 같이 변수를 선언하여 사용하며, 심볼릭 변수를 사용한 뒤, subs() 함수를 이용하여 대입 및 계산한 매트랩 m-file은 따로 첨부한다.)

결과: 각각의 경우에 대해 핀 휜 위치 온도 그래프는 다음과 같고,

핀 휜을 통한 열전달률은 다음과 같다.

PinFin_HeatTransfer.m

핀 휜 열전달률.docx

매트랩 Matlab을 이용한 핀 휜 pin fin의 열전달률

매트랩 Matlab을 이용하여 핀 pin 휜 fin의 열전달 미분방정식을 풀어서 얻은 온도 함수식, 온도분포식을 이용하여 핀 휜의 열전달률 식을 구한다.

환경:   OS – Windows 7 Ultimate K SP1 64bit

MATLAB – R2016a (9.0.0341360) 64-bit

가정: 핀 pin 휜 fin의 단면적은 일정하고 단면 방향의 온도는 일정하다. 휜 바닥의 온도와 주위 공기의 온도, 대류열전달계수, 휜의 열전도도, 휜의 길이는 일정하고 균일한 값을 가진다. 휜은 원통형이라고 가정하며 복사에 의한 열전달과 열발생 등은 고려하지 않는다. 주어진 열전달 과정은 정상상태이다.

풀이: 앞서서 구한 핀 휜 pin fin의 온도 함수 및 온도분포식을 이용하여 핀 휜을 통한 열전달률 식을 구한다. 휜의 표면을 통해 공기로 전달되는 열전달률은 휜 바닥을 통해 휜으로 전달되는 열전달률과 같으므로 아래와 같다.

따라서 휜으로부터의 열전달률은 Fourier의 열전도 법칙을 이용하여 다음과 같다.

이때 각각의 휜 끝 조건에 대한 온도분포식은 다음과 같고,

Case 1: 무한히 긴 휜

Case 2: 단열된 휜 끝

Case 3: 휜 끝 특정 온도

Case 4: 휜 끝 대류 열전달

매트랩을 이용하여 각각의 열전달률 식을 구하는 m-file은 다음과 같다.

결과: 각각의 휜 끝 조건에 따른 휜의 열전달률 식은 다음과 같다.

1번 경우에 대한 열전달률

2번 경우에 대한 열전달률

3번 경우에 대한 열전달률

4번 경우에 대한 열전달률

핀 휜 열전달 미분방정식 풀이.docx

PinFin_HeatTransfer_DE.m

매트랩 Matlab을 이용한 핀 휜 pin fin의 열전달 미분방정식 Differential Equation 풀이

매트랩을 이용하여 핀 pin 휜 fin의 열전달 미분방정식을 풀고, 온도분포식을 구한다.

환경:   OS – Windows 7 Ultimate K SP1 64bit

MATLAB – R2016a (9.0.0341360) 64-bit

가정: 핀 pin 휜 fin의 단면적은 일정하고 단면 방향의 온도는 일정하다. 휜 바닥의 온도와 주위 공기의 온도, 대류열전달계수, 휜의 열전도도, 휜의 길이는 일정하고 균일한 값을 가진다. 휜은 원통형이라고 가정하며 복사에 의한 열전달과 열발생 등은 고려하지 않는다. 주어진 열전달 과정은 정상상태 이다.

풀이: 임의의 위치 x에서 미소 길이가 Δx인 체적요소 ΔV의 온도가 T인 휜을 고려할 때, 정상상태에 대한 체적요소 계의 에너지 평형식은 다음과 같다.

주어진 휜 체적요소는 대류와 전도에 의해 열전달이 일어나므로 에너지 평형식은 아래와 같고,

이때 휜 체적요소의 대류에 의한 외부로의 열전달률은 아래와 같으므로

에너지 평형식은 아래와 같이 정리할 수 있다.

여기에 Δx에 대해 극한을 취하면 다음과 같이 미분식으로 변환할 수 있다.

이때 전도 열전달률은 아래와 같으므로

위의 미분식은 다음과 같이 정리할 수 있다.

휜의 온도와 외부 공기 온도의 차를 다음과 같다고 할 때,

휜의 미분방정식은 아래와 같이 간단히 나타낼 수 있다.

즉, 휜의 양 끝에 대한 경계조건이 주어진 미분방정식이며, 휜 바닥(x=0)에서의 경계조건은 다음과 같고,

휜 끝(x=L)에서의 4가지 경계조건은 각각 다음과 같다.

Case 1: 무한히 긴 휜

휜의 길이가 충분히 길어서 휜 끝의 온도가 주위 공기 온도와 같다고 할 수 있는 경우에 휜 끝 온도의 경계조건은 다음과 같다.

Case 2: 단열된 휜 끝

휜 끝이 단열된 경우 휜 끝에서의 경계조건은 휜 끝의 에너지 평형식에서 구할 수 있다.

Case 3: 휜 끝 특정 온도

휜 끝의 온도를 알고 있거나 특정 온도로 고정되어 있을 때 경계조건은 다음과 같다.

Case 4: 휜 끝 대류 열전달

휜 끝에 대류 열전달이 일어나는 경우 휜 끝에서의 경계조건은 휜 끝의 에너지 평형식에서 구할 수 있다.

결과: 위의 경계조건을 고려하여 매트랩 프로그램에서 m-file을 작성하면 아래와 같다.

이를 실행하면 매트랩의 명령창 command window에 나타나는 결과는 아래와 같다.

1번 경우에 대한 온도 분포 식

검토에 계속

2번 경우에 대한 온도 분포 식

3번 경우에 대한 온도 분포 식

4번 경우에 대한 온도 분포 식

검토: 결과를 검토해보면 1번 경우(무한히 긴 휜)에 대한 온도분포 미분방정식 풀이가 제대로 되지 않았음을 알 수 있으며 이는 D 경우 경계조건의 무한대 값(코드의 Inf: ∞)에 의한 것임을 알 수 있다. 따라서 dsolve() 함수를 이용하여 미분방정식을 해결한 뒤 limit() 함수를 이용하여 휜의 길이가 매우 긴 경우에 대해 수식을 아래와 같이 정리한다.

하지만 결과를 다시 살펴보면 limit() 함수가 제대로 풀이되지 않음을 알 수 있다.

이는 심볼릭 변수 m에 의한 것으로 m의 값에 따라 극한의 값이 달라질 수 있기 때문이다. 하지만 m의 값은 항상 양수 이므로 다음과 같이 수정하면 올바르게 결과를 얻을 수 있다.

결과: 각각의 휜 끝 조건에 대한 온도분포식은 다음과 같다.

1번 경우에 대한 온도 분포 식

2번 경우에 대한 온도 분포 식

3번 경우에 대한 온도 분포 식

4번 경우에 대한 온도 분포 식

열전달 5-36.docx

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

Fundamentals and Applications

-YUNUS A. CENGEL

-AFSHIN J. GHAJAR    

-유성연, 김경훈, 김병철, 김창녕, 이종붕, 조형희 공역

McGraw-Hill

문제 5-36

핀(pin) 모양 휜(fin)이 부착된 뜨거운 표면이 주위로 정상상태 하에 냉각될 때,

유한차분식과 휜을 따르는 절점 온도와 열전달률 등을 구한다.

가정: 휜의 길이 방향에 따른 열전달은 1차원 정상 열전달이다.

열적 물성치와 주위 온도, 판의 온도는 일정하고 균일하다.

풀이: 원통형 휜을 따른 절점과 절점에 따른 휜 단면과 대류 표면은 아래와 같다.

(a) 원통형 휜 한 개에 대한 유한차분식은 다음과 같다.

 (b) 위 연립 방정식을 풀면 휜을 따른 절점의 온도는 다음과 같다.

(c) 휜 한 개에서 주위로 전달되는 열전달률은 다음과 같다.

(d) 판의 1mＸ1m부분으로부터의 열전달률은 휜과 휜이 부착되지 않은 면에서의 열전달률의 합이므로 다음과 같다.

따라서 각각의 값을 계산하면 전체 휜으로부터의 열전달률은 다음과 같다.

열전달 5-32.docx

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

Fundamentals and Applications

-YUNUS A. CENGEL

-AFSHIN J. GHAJAR    

-유성연, 김경훈, 김병철, 김창녕, 이종붕, 조형희 공역

McGraw-Hill

문제 5-32

뿌리부분의 온도가 주어진 원통 모양의 휜이 길이 방향으로 정상 1차원 열전도일 때, 유한차분식을 유도한다.

가정: 휜을 통한 열전달은 정상 1차원 열전달이다. 열발생과 복사에 의한 열전달은 없으며,

열적 물성치는 일정하고 균일한 값을 가진다.

풀이: 각 절점에서의 유한차분식은 다음과 같다.

Node 0:

Node 1:

Node 2:

열전달 5-25.docx

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

Fundamentals and Applications

-YUNUS A. CENGEL

-AFSHIN J. GHAJAR    

-유성연, 김경훈, 김병철, 김창녕, 이종붕, 조형희 공역

McGraw-Hill

문제 5-25

폭이 매우 큰 삼각 단면 알루미늄 휜(fin)이 바닥면의 온도가 일정하며

외부 공기로 대류와 주위로 복사에 열전달이 일어나고 있을 때, 절점의 온도와 단위 너비 당 열전달률을 구한다.

가정: 삼각 단면 알루미늄 휜은 x방향을 따라서만 온도가 변하며 x방향을 따라서 1차원 정상 열전달이다.

휜의 열적 물성치는 일정하다. 외부 공기의 온도와 대류열전달계수, 주위 온도, 방사율은 균일하고 일정하다.

삼각 단면 알루미늄 휜의 옆면에서의 열전달은 없다고 가정한다.

풀이: 경계면의 절점을 포함한 절점의 개수는 6개로 주어져 있으므로 절점의 간격 Δx는 아래와 같다.

삼각 단면 휜의 바닥 M=0의 온도는 일정하므로 다음과 같고,

삼각 단면 휜의 끝 M=5에서의 유한차분식은 다음과 같다.

나머지 절점은 내부 절점이며 유한차분식은 다음과 같다.

이때 삼각 단면 휜의 절점에 따른 전도와 대류, 복사에 대한 면적은 다음과 같다.

따라서 각 절점에서의 면적을 대입하고 유한차분식을 정리하면 다음과 같다.

(a) 위의 방정식에 주어진 값을 대입하고 연립방정식을 풀면 각각의 온도는 다음과 같다.

(b) w=1m 당 휜으로부터의 열전달률은 다음과 같다.

이때 위 식을 정리하면 다음과 같다.

위 식을 정리하고 각각의 값을 대입하여 계산하면 w=1m 당 휜으로부터의 열전달률은 다음과 같다.

열전달 5-22.docx

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

Fundamentals and Applications

-YUNUS A. CENGEL

-AFSHIN J. GHAJAR    

-유성연, 김경훈, 김병철, 김창녕, 이종붕, 조형희 공역

McGraw-Hill

문제 5-22

1차원 정상 열전도인 원통형 핀(pin) 모양의 휜(fin)이 외부 공기의 대류에 의한 열전달과 복사에 의한 열전달이 일어날 때,

절점에서의 온도를 구하기 위한 유한차분식을 유도한다.

가정: 핀(pin) 모양 휜(fin)은 반경 방향으로 온도변화가 없으며 휜의 축 방향으로만 온도가 변한다.

휜의 열적 물성치와 대류열전달계수, 외부 공기의 온도, 주위 온도, 방사율 등은 일정하고 균일하다.

휜 끝의 열전달은 무시할 수 있으며, 절점 0의 온도는 휜이 부착되어 있는 면의 온도와 같고 일정하다.

풀이: 핀(pin) 휜(fin)은 1차원 정상 열전도이며 모든 면에서 매질로 들어오는 방향으로 열전달이 일어난다고 하면

절점 1에서 에너지 균형법을 이용한 유한차분식은 다음과 같다.

절점 1:

위 식을 정리하면 다음과 같다.

핀(pin) 휜(fin)의 끝에서는 열전달이 없으므로 절점 2에서 에너지 균형법을 이용한 유한차분식은 다음과 같다.

절점 2:

위 식을 정리하면 다음과 같다.

HeatTransfer_5_17.m

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

Fundamentals and Applications

-YUNUS A. CENGEL

-AFSHIN J. GHAJAR    

-유성연, 김경훈, 김병철, 김창녕, 이종붕, 조형희 공역

McGraw-Hill

문제 5-17

열전달 5-17.docx

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

Fundamentals and Applications

-YUNUS A. CENGEL

-AFSHIN J. GHAJAR    

-유성연, 김경훈, 김병철, 김창녕, 이종붕, 조형희 공역

McGraw-Hill

문제 5-17

휜을 따라 정상 1차원 열전달이라고 할 수 있는 끝이 단열된 원통형 알루미늄 휜이 공기 중에 노출되어 있을 때,

유한차분식을 구하고 Gauss-Seidal 반복법으로 각 절점의 온도를 구한다.

가정: 휜을 따라 1차원 정상 열전달이다. 휜의 물성치는 균일하고 일정하다.

외부 공기의 온도와 대류열전달계수는 일정하고 균일하다.

휜의 열발생은 없으며 복사열전달을 고려하지 않는다.

풀이: 문제에 주어진 절점의 간격 Δx는 10mm로 일정하므로 절점은 0, 1, 2, 3, 4, 5로 구성되어 있다.

절점 0은 벽면에 부착되어 있으므로 절점 0의 온도는 다음과 같다.

절점 1, 2, 3, 4는 휜의 부착면과 끝을 제외한 내부 절점이며,

이 절점들의 체적 요소에 에너지 균형을 적용하면 임의의 내부 절점 m 에 대한 유한차분식을 얻을 수 있다.

이때 열전달은 정상상태이고 열발생이 없으므로 모든 방향에서 휜으로 들어오는 방향으로 열전달이 일어난다고 가정하면

에너지 균형식을 이용한 유한차분식은 다음과 같다.

절점 5는 휜의 끝 부분으로 단열되어 있으므로 유한차분식은 다음과 같다.

따라서 각각의 유한차분식을 정리하면 다음과 같다.

(a) Gauss-Seidal 반복법을 사용하기 위해 위의 식을 정리하면 다음과 같다.

(b) 이를 Gauss-Seidal 반복법으로 계산하면 각 절점의 온도는 다음과 같다.

휜 끝은 단열되어 있으므로 해석해는 다음과 같다.

따라서 각 절점 위치의 온도를 구하면 다음과 같다.

문제 풀이에 사용한 매트랩 m-file

http://0pionium.tistory.com/563

열전달 5-16.docx

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

Fundamentals and Applications

-YUNUS A. CENGEL

-AFSHIN J. GHAJAR    

-유성연, 김경훈, 김병철, 김창녕, 이종붕, 조형희 공역

McGraw-Hill

문제 5-16

휜을 따라 1차원 정상 열전달이라고 할 수 있는 원통형 휜이 한 쪽면이 일정한 온도로 유지되면서 공기 중에 노출되어 있을 때,

유한차분식과 해석해를 이용하여 절점의 온도를 구해서 비교한다.

가정: 휜을 따라 1차원 정상 열전달이다. 휜의 열적 물성치는 균일하고 일정하다.

외부 공기의 온도와 대류열전달계수는 일정하고 균일하다.

휜 자체의 열발생은 없으며 복사열전달은 고려하지 않는다.

풀이: 문제에 주어진 조건에 따라서 휜의 절점은 0, 1, 2, 3, 4, 5로 구성되어 있고, 절점의 간격 Δx는 10mm로 일정하다.

(a) 절점 0은 벽에 부착된 면으로 벽의 온도와 같은 350℃이다.

절점 1, 2, 3, 4는 휜의 부착면과 끝을 제외한 내부 절점이고 이 절점들의 체적 요소에 에너지 균형을 적용하면

임의의 내부 절점 m에 대한 유한차분식을 얻을 수 있다. 이때 열전달은 정상상태이고 열발생이 없으므로

모든 방향에서 휜으로 들어오는 방향으로 열전달이 일어난다고 가정하면 에너지 균형식을 이용한 유한차분식은 다음과 같다.

절점 5는 휜의 끝 부분으로 에너지 균형식을 이용한 유한차분식은 다음과 같다.

이때 각각의 면적이 다음과 같다.

(b) 따라서 각각의 값을 대입하여 각 절점의 유한차분식을 정리 및 계산하면 다음과 같고,

그러므로 위의 선형 연립 대수 방정식을 풀면 각 절점의 온도는 다음과 같다.

휜 끝의 대류를 고려한 해석해는 다음과 같고,

 

이를 이용하여 각 절점 위치의 온도를 구하면 다음과 같다.

열전달률은 각 절점에서 외부로 대류에 의해 전달되는 열전달률을 총 합으로 구할 수 있다.

따라서 각 절점 위치에서 일어나는 열전달률은 다음과 같고,

(c) 각 절점의 열전달률 합과 휜 끝에서의 열전달률을 더하면 다음과 같다.

휜 끝의 대류를 고려한 해석적 열전달률은 다음과 같다.

해당 문제 계산에 사용한 매트랩 m-file

http://0pionium.tistory.com/562