귀여운 촌아의 작은상자

열전달 4-122.docx

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

Fundamentals and Applications

-YUNUS A. CENGEL

-AFSHIN J. GHAJAR    

-유성연, 김경훈, 김병철, 김창녕, 이종붕, 조형희 공역

McGraw-Hill

문제 4-122

가정: 1-Mn 망간 철판의 열적 물성치는 일정하고 균일하다.

열전달계수와 유조의 온도는 일정하고 균일하다.

풀이: 1-Mn 망간 철판의 물성치는 부록의 Properties of solid metals TABLE A-3을 참고하여 다음과 같다.

망간 철판의 비오트 수(Biot Nimber, Bi수)를 구하면 다음과 같다.

Bi 수가 0.1보다 작으므로 집중계 해석을 할 수 있다. 따라서 시간상수 b는 다음과 같다.

이 때 9m인 유조 속을 망간 철판이 통과하는데 걸리는 시간은 다음과 같으므로

망간 철판이 유조를 빠져나올 때 온도는 다음과 같이 계산할 수 있다.

유조의 온도를 45℃로 유지하기 위해 제거해야 할 열량은 망간 철판이 잃어버린 열량과 같다.

따라서 유조를 통과하는 망간 철판의 질량 유량은 다음과 같다.

그러므로 유조의 온도 유지를 위해 제거해야 할 열량은 다음과 같다.

열전달 4-87.docx

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

Fundamentals and Applications

-YUNUS A. CENGEL

-AFSHIN J. GHAJAR    

-유성연, 김경훈, 김병철, 김창녕, 이종붕, 조형희 공역

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문제 4-87

가정: 문제 4-86과 모든 조건이 같으며, 윗면과 밑면의 열전달계수의 값만 다르다.

풀이: 정육면체 블록의 경우 3개의 무한 평판에 대한 해를 이용하여 구할 수 있으며, 따라서 비정상 온도분포는 다음과 같다.

이때 윗면과 밑면의 축을 z라고 했을 때 각 축의 10분 후에 대한 푸리에 수(Fourier Number) τ와 비오트 수(Biot Number) Bi는 다음과 같다.

20분, 60분에 대한 푸리에 수(Fourier Number) τ 또한 0.2보다 크므로 모두 단항근사해법(one term approximation)을 적용할 수 있고,

x축과 y축은 모든 조건이 같으므로 비정상 온도분포 식은 다음과 같다.

그러므로 Bi수에 따른 판형 비정상 1차원 열전도의 단항 근사해법(one term approximation) 계수의 값을 표 TABLE 4-2를

이용하여 10분 후 정육면체 블록의 중심부 온도는 다음과 같다.

20분 후 정육면체 블록의 중심부 온도는 다음과 같다.

60분 후 정육면체 블록의 중심부 온도는 다음과 같다.

원통 블록의 경우 길이와 지름이 같고 짧은 원통으로 생각할 수 있다.

따라서 평면 벽과 긴 원통에 대한 1차원 해를 이용하여 구할 수 있으며, 따라서 비정상 온도분포는 다음과 같다.

이때 윗면과 밑면은 원통의 축 방향으로 무한 평판의 외부면이다.

따라서 각 축의 10분 후에 대한 푸리에 수(Fourier Number) τ와 비오트 수(Biot Number) Bi는 다음과 같다.

20분, 60분에 대한 푸리에 수(Fourier Number) τ 또한 0.2보다 크므로 모두 단항근사해법(one term approximation)을 적용할 수 있고,

그러므로 Bi수에 따른 원통형 비정상 1차원 열전도의 단항 근사해법(one term approximation) 계수의 값을 표 TABLE 4-2를

이용하여 10분 후 원통 블록의 중심부 온도는 다음과 같다.

20분 후 원통 블록의 중심부 온도는 다음과 같다.

60분 후 원통 블록의 중심부 온도는 다음과 같다.

열전달 4-74.docx

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

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-YUNUS A. CENGEL

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-유성연, 김경훈, 김병철, 김창녕, 이종붕, 조형희 공역

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문제 4-74

가정: 땅 속의 온도는 노출된 한 표면에서의 열적 조건에 의해서만 영향을 받는다.

그러므로 땅은 반무한체로 다룰 수 있다.

땅의 열적 물성치와 열전달계수는 균일하고 일정하다.

풀이: 땅 표면은 열전달계수에 의한 열전달과 표면의 초기온도 경계조건이 주어져 있다.

따라서 땅의 온도 분포식은 다음과 같다.

땅 표면으로부터의 위치가 x일 때 위의 식은 다음과 같이 계산된다.

이때 x값에 상관 없이 지수함수 exp()는 매우 큰 수이지만

보충 오차함수(complementary error function) erfc()의 값이 x값에 상관 없이 0이므로 아래 항의 값은 다음과 같다.

따라서 땅 표면으로부터 위치 x에 따른 온도 분포식은 다음과 같다.

그러므로 0, 10, 20, 50 cm에서 온도를 보충 오차함수 계산표 The complementary error function TABLE 4-4를 참고하여 계산하면 다음과 같다.

x=0cm 일 때

x=10cm 일 때

x=20cm 일 때

x=50cm 일 때

열전달 4-73.docx

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

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문제 4-73

가정: 두꺼운 나무 판은 중앙의 온도가 거의 일정한 반 무한 물체로 가정한다.

나무 판의 물성치와 대류열전달계수는 균일하고 일정하다. 나무 판 내부에서의 열발생은 없다.

풀이: 나무 판은 두께 방향으로의 1차원 비정상 열전도이며, 뜨거운 가스에 의한 대류열전달로 표면에 열이 전달된다.

따라서 온도 분포식은 다음과 같다.

위 식을 이용하여 5분 후 나무 판 표면(x=0)의 온도를

보충 오차함수 계산표 The complementary error function TABLE 4-4를 참고하여 계산하면 다음과 같다.

나무 판 표면의 온도가 356℃로 점화온도보다 낮으므로 나무에 불이 붙지 않는다.

열전달 4-66.docx

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

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문제 4-66

가정: 유리막대는 반경방향으로의 원통형 1차원 비정상 열전도로 가정한다.

유리막대의 열적 물성치와 대류열전달계수, 공기의 온도는 균일하고 일정하다.

풀이: 비오트 수(Biot number, Bi 수)는 다음과 같다.

푸리에 수(Fourier number) τ는 다음과 같다.

(a) 푸리에 수(Fourier number) τ가 0.2보다 크므로 단항 근사해법(one term approximation)을 이용할 수 있다.

따라서 비오트 수(Biot number, Bi 수)에 따른

원통형 비정상 1차원 열전도의 단항 근사해법(one term approximation) 계수의 값을 표 TABLE 4-2를 참고하면 다음과 같다.

그러므로 유리막대 중앙부의 온도는 다음과 같이 계산된다.

(b) 비정상 온도차트(transient temperature chart)인 Heisler 차트 중 긴 원통의 중심에 대한 그림 FIGURE 4-17 (a) 그래프를 참고하면 다음과 같다.

따라서 유리막대 중앙부의 온도는 다음과 같다.

두 방법으로 구한 유리막대의 중심 온도의 차이가 크지 않지만

이 차이는 소수점 이하의 작은 값에 대한 반올림과 그래프의 값을 읽을 때 오차 때문인 것으로 생각된다.

열전달 4-64.docx

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

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문제 4-64

가정: 알루미늄 판은 두께 방향으로의 1차원 열전도이다.

알루미늄 판의 표면 온도가 액체의 온도와 거의 같으므로 대류열전달계수는 매우 크다고 할 수 있고,

따라서 비오트 수(Biot number, Bi 수)를 100보다 큰 무한으로 가정한다.

풀이: 비오트 수(Biot number, Bi 수)는 무한이며,

푸리에 수(Fourier number) τ는 다음과 같다.

푸리에 수(Fourier number) τ가 0.2보다 크므로 단항 근사해법(one term approximation)을 이용한다.

따라서 Bi 수에 따른 판형 비정상 1차원 열전도의 단항 근사해법(one term approximation) 계수의 값을 표 TABLE 4-2를 참고하면 다음과 같다.

그러므로 알루미늄 판의 중심 온도는 다음과 같다.

열전달 4-60.docx

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문제 4-60

가정: 고기는 두께 방향으로 평면형 1차원 비정상 열전도로 가정한다.

고기의 열적 물성치와 열전달계수는 일정하고 균일한 값을 가진다.

풀이: 고기의 비오트 수(Biot number) Bi 수는 다음과 같다.

Bi수가 0.1보다 크므로 집중계 해석을 할 수 없으며 비정상 열전이다.

이때 푸리에 수(Fourier number) τ가 0.2보다 크다고 가정하여 단항 근사해법(one term approximation)을 이용한다.

따라서 Bi수에 따른 구형 비정상 1차원 열전도의 단항 근사해법(one term approximation) 계수의 값을 표 TABLE 4-2를 이용하여 계산하면 다음과 같고,

고기의 중심온도가 -18℃가 일 때 푸리에 수(Fourier number) τ는 다음과 같다.

푸리에 수(Fourier number) τ가 0.2보다 크므로 단항 근사해법(one term approximation)을 이용한 해는 신뢰할 수 있다.

따라서 고기 중심온도가 -18℃가 되는데 걸리는 시간은 다음과 같다.

이때 고기 표면의 온도는 다음과 같다.

열전달 4-59.docx

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문제 4-59

가정: 쇠고기는 반경 방향으로의 원통형 1차원 비정상 열전도로 가정한다.

쇠고기의 열적 물성치와 열전달계수는 일정하고 균일한 값을 가진다.

풀이: 쇠고기의 비오트 수(Biot number) Bi 수를 구하면 다음과 같다.

Bi수가 0.1보다 크므로 집중계 해석을 할 수 없으며 비정상 열전이다.

이때 푸리에 수(Fourier number) τ가 0.2보다 크다고 가정하여 단항 근사해법(one term approximation)을 이용한다.

따라서 Bi수에 따른 구형 비정상 1차원 열전도의 단항 근사해법(one term approximation) 계수의 값을 표 TABLE 4-2를 이용하여 계산하면 다음과 같고,

원통의 중앙에서 온도가 4℃ 일 때 푸리에 수(Fourier number) τ는 다음과 같다.

푸리에 수(Fourier number) τ가 0.2보다 크므로 단항 근사해법(one term approximation)을 이용한 해는 신뢰할 수 있다.

따라서 쇠고기 중심온도가 4℃가 되는데 걸리는 시간은 다음과 같다.

쇠고기 표면의 온도는 다음과 같고,

이때 1종 0차 베셀 함수(The zeroth order Bessel function) 값 J₀를 1종 0차, 1차 베셀 함수표 TABLE 4-3을 이용하여 구하면 다음과 같고, 위 식을 계산하면 다음과 같다.

따라서 쇠고기 표면 부분은 얼게 된다.

열전달 4-58.docx

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문제 4-58

가정: 닭은 반경 방향으로의 구형 1차원 비정상 열전도로 생각한다.

닭의 열적 물성치와 열전달계수는 일정하고 균일한 값을 가진다.

풀이: 먼저 닭을 구형으로 가정했을 때 닭의 반지름은 다음과 같다.

따라서 비오트 수(Biot number) Bi 수를 구하면 다음과 같다.

Bi수가 0.1보다 크므로 집중계 해석을 할 수 없으며 비정상 열전이다. 이때 푸리에 수(Fourier number) τ를 계산하면 다음과 같다.

푸리에 수(Fourier number) τ가 0.2보다 크기 때문에 단항 근사해법(one term approximation)을 적용 할 수 있다.

이때 Bi수에 따른 구형 비정상 1차원 열전도의 단항 근사해법(one term approximation) 계수의 값을 표 TABLE 4-2를 이용하여 계산하면 다음과 같고,

따라서 닭의 중심온도는 다음과 같다.

초기온도 15℃의 닭이 2시간 45분 뒤에 중심온도가 외부 소금물의 온도와 같은 -7℃가 되므로 표면온도 또한 -7℃ 이다.

열전달 4-57.docx

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

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문제 4-57

가정: 감자는 반경 방향으로의 구형 1차원 비정상 열전도로 생각한다. 감자의 열적 물성치와 열전달계수는 일정하고 균일한 값을 가진다.

풀이: 먼저 감자의 비오트 수(Biot number) Bi 수를 구하면 다음과 같다.

Bi수가 0.1보다 크므로 집중계 해석을 할 수 없으며 비정상 열전이다.

이때 푸리에 수(Fourier number) τ가 0.2보다 크다고 가정하여 단항 근사해법(one term approximation)을 적용한다.

이때 Bi수에 따른 구형 비정상 1차원 열전도의 단항 근사해법(one term approximation) 계수의 값을 표 TABLE 4-2를 이용하여 계산하면 다음과 같고,

감자 중심의 온도가 6℃가 될 때까지 걸리는 시간은 다음과 같이 구할 수 있다.

푸리에 수(Fourier number) τ가 0.2보다 크므로 단항 근사해법(one term approximation)의 해는 충분히 신뢰할 수 있으며

따라서 감자 중심의 온도가 6℃가 될 때까지 걸리는 시간은 다음과 같다.

이 과정에서 감자가 냉해를 입는지 알아보기 위해 감자 표면의 온도를 구하면 다음과 같다.

θ_sph=(T(r,t)-T_∞)/(T_i-T_∞ )=A_1 e^(-λ_1^2 τ)   sin⁡(λ_1 r/r_o )/(λ_1 r/r_o )

(T(0.03m,457s)-2℃)/(20℃-2℃)=(1.3021) e^(-(1.6349)^2 (0.66) )   sin⁡(1.6349)/1.6349

T(0.03m,457s)=4.5℃

감자가 냉해를 입기 시작하는 감자의 온도는 나와있지 않지만 감자 전체의 온도는 4.5℃ 이상이다.