귀여운 촌아의 작은상자

열전달 5-63.docx

HeatTransfer_5_63.m

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

Fundamentals and Applications

-YUNUS A. CENGEL

-AFSHIN J. GHAJAR    

-유성연, 김경훈, 김병철, 김창녕, 이종붕, 조형희 공역

McGraw-Hill

문제 5-63

일정한 열발생이 있고, 위, 아래, 오른쪽, 왼쪽의 온도가 주어진

정사각 단면 긴 고체 막대의 유한차분식과 Gauss-Seidal 반복법을 이용하여 절점 온도를 계산한다.

가정: 정사각형 단면의 긴 고체 막대는 길이 방향으로 온도 변화가 없는 2차원 정상 열전달이다.

열전도도와 열발생률, 주어진 온도는 일정하고 균일하다.

풀이: 주어진 절점의 간격은 다음과 같으므로

(a) 에너지 균형식을 이용한 각 절점에서의 유한차분식은 다음과 같다.

따라서 위 식을 Gauss-Seidal 반복법을 사용할 수 있도록 정리하면 다음과 같고,

(b) Gauss-Seidal 반복법을 이용하여 절점의 온도를 계산하면 다음과 같다.

Iteration	T1[℃]	T2[℃]	T3[℃]	T4[℃]
Initial Guess	250	250	250	250
1	280	205	330	255
2	288.75	213.75	338.75	263.75
3	293.125	218.125	343.125	268.125
……
21	297.5	222.5	347.5	275.5

Gauss-Seidal 반복법을 매트랩 Matlab을 이용하면 다음과 같다.

열전달 5-61.docx

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

Fundamentals and Applications

-YUNUS A. CENGEL

-AFSHIN J. GHAJAR    

-유성연, 김경훈, 김병철, 김창녕, 이종붕, 조형희 공역

McGraw-Hill

문제 5-61

옆면은 얼음물에 잠겨 있고, 아랫면은 단열되어 있고,

윗면은 저항 가열기에 의해 가열되고 있는 콘스탄탄 블록을 유한차분법과 대칭성을 이용하여 유한차분식과 절점의 온도, 얼음물로의 열전달률을 계산한다.

가정: 콘스탄탄 블록은 높이와 폭에 비해 매우 길기 때문에 이를 통한 열전달은 정상 2차원 열전달이다.

저항 가열기에 의한 열전달과 주어진 옆면의 온도는 일정하고 균일하며 열발생은 없다고 가정한다.

풀이: 문제에 주어진 콘스탄탄 블록은 아래 그림과 같이 좌우가 열적 대칭이므로 각 절점은 아래그림과 같다.

이때 윗면의 저항가열기에 의해 전달되는 열유속은 다음과 같고,

절점의 간격은 x방향과 y방향이 같으므로 다음과 같다.

주어진 체적 요소에서의 에너지 균형식은 다음과 같으므로

(a) 각 절점에서의 유한차분식은 다음과 같다.

따라서 위 식들을 정리하면 아래와 같고,

(b) 연립방정식을 풀어 절점의 온도를 구하면 다음과 같다.

(c) 콘스탄탄 블록의 중심을 기준으로 대칭이므로

단위 길이 당 양 옆면에서 얼음물로 전달되는 열전달률은 다음과 같이 계산된다.

그러므로 블록에서 얼음물로의 열전달률은 다음과 같다.

열전달 5-59.docx

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

Fundamentals and Applications

-YUNUS A. CENGEL

-AFSHIN J. GHAJAR    

-유성연, 김경훈, 김병철, 김창녕, 이종붕, 조형희 공역

McGraw-Hill

문제 5-59

열발생과 열전도도가 일정한 기다란 고체에서 절점의 온도와 단위 길이 당 아랫면으로부터의 열손실률을 계산한다.

가정: 정상 2차원 열전달이며, 열전도도와 열발생은 일정하고 균일하다. 주어진 경계에서의 온도는 일정하다. 복사에 의한 열전달은 고려하지 않는다.

풀이: 절점의 간격은 Δx=Δy=l=4cm로 일정하고 2차원 정상 열전달이므로 체적 요소에 대한 에너지 균형식은 다음과 같고,

절점 1에서의 유한차분식은 다음과 같다.

단열면은 반사 상 개념을 이용하여 절점 2의 유한차분식은 다음과 같다.

절점 3은 내부 절점으로 유한차분식은 다음과 같다.

(a) 따라서 위의 유한차분식을 정리하고 각 방정식을 풀면 각 절점의 온도는 다음과 같다.

(b) 단위 길이 당 아랫면으로부터의 열손실률은 아랫면에서 대류에 의한 열전달과 같다.

따라서 아랫면의 각 절점의 온도를 이용하여 아랫면의 평균 온도를 구하면 다음과 같다.

따라서 단위 길이 당 아랫면으로부터의 열손실률은 다음과 같이 계산된다.

열전달 5-56.docx

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

Fundamentals and Applications

-YUNUS A. CENGEL

-AFSHIN J. GHAJAR    

-유성연, 김경훈, 김병철, 김창녕, 이종붕, 조형희 공역

McGraw-Hill

문제 5-56

열발생이 일정한 정사각형 단면의 긴 고체에서 절점의 온도와 단위 길이 당 윗면의 열손실률을 계산한다.

가정: 정상 2차원 열전달이며, 열전도도와 열발생은 일정하고 균일하다. 주어진 경계에서의 온도는 일정하다.

풀이: 주어진 절점을 고려해 볼 때, 절점 1과 절점 2의 온도가 같고, 절점 3과 절점 4의 온도가 서로 같다.

반사 상 개념을 이용하여 열발생이 일정한 내부 절점에서의 유한차분식을 구하면 다음과 같다.

따라서 각 절점에서의 유한차분식은 다음과 같고,

 

(a) 위 식을 정리하고 연립방정식을 풀면 각 절점에서의 온도를 구할 수 있다.

(b) 단위 길이 당 윗면으로부터의 열손실률은

높이 l/2, 길이 0.3m, 깊이 1m의 체적 요소에 대한 에너지 균형식으로부터 윗면의 열전달률로 구할 수 있다.

열전달 5-55.docx

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

Fundamentals and Applications

-YUNUS A. CENGEL

-AFSHIN J. GHAJAR    

-유성연, 김경훈, 김병철, 김창녕, 이종붕, 조형희 공역

McGraw-Hill

문제 5-55

임의의 절점에서 정상 2차원 유한차분식을 에너지 균형으로부터 유도한다.

가정: 정상 2차원 열전달이며, 열전도도가 변화하고 열발생은 일정하다.

풀이: 직교 좌표계에서 x방향으로 Δx의 간격으로 M개의 절점으로, y방향으로 Δy의 간격으로 N개의 절점으로 이루어진 직사각형 망으로 나누고

z방향으로는 단위 길이 Δz=1로 생각하고, 이 절점들을 이중 첨자 표기 법을 이용하여 표시한다.

따라서 체적 요소는 ΔxＸΔyＸ1이며 이 요소에 대한 정상상태 에너지 균형식은 다음과 같다.

인접한 절점들 사이의 온도는 선형적으로 변화한다고 가정하고,

x방향의 열전달 면적은 ΔyＸ1=Δy이고, y방향의 열전달 면적은 ΔxＸ1=Δx가 되므로 위의 에너지 균형식은 아래와 같다.

각 항을 ΔxΔy로 나누고 간단히 하면 임의의 절점에 대하여 아래와 같다.

만약 x방향과 y방향의 절점 간격 Δx, Δy가 l로 같다면 위 식은 다음과 같이 정리할 수 있다.

따라서 임의의 절점 온도에 대한 식으로 정리하면 다음과 같다.

열전달 5-54.docx

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

Fundamentals and Applications

-YUNUS A. CENGEL

-AFSHIN J. GHAJAR    

-유성연, 김경훈, 김병철, 김창녕, 이종붕, 조형희 공역

McGraw-Hill

문제 5-54

정사각형과 직사각형 단면의 긴 고체 봉에서 절점에 따른 유한차분식과 절점 별 온도를 계산한다.

가정: 정상 2차원 열전달이며, 열발생은 없다. 주어진 온도는 일정하다.

풀이: (a) 주어진 절점을 고려해 볼 때, 절점 2와 절점 3의 온도가 같다.

반사 상 개념을 이용하여 열발생이 없는 내부 절점에서의 유한차분식을 구하면 다음과 같다.

따라서 위의 유한차분식을 정리하고 절점의 온도를 구하면 다음과 같다.

(b) 주어진 절점을 고려해 볼 때, 절점 1과 절점 2의 온도가 같고, 절점 3과 절점 4의 온도가 같다.

단열된 면에 반사 상 개념을 적용하여 열발생이 없는 내부 절점에서의 유한차분식을 구하면 다음과 같다.

따라서 위의 유한차분식을 정리하고 절점의 온도를 구하면 다음과 같다.

열전달 5-53.docx

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

Fundamentals and Applications

-YUNUS A. CENGEL

-AFSHIN J. GHAJAR    

-유성연, 김경훈, 김병철, 김창녕, 이종붕, 조형희 공역

McGraw-Hill

문제 5-53

네 면의 온도가 주어진 정사각형 단면의 긴 고체에서의 유한차분식과 주어진 절점에서의 온도를 구한다.

가정: 정상 2차원 열전달이며, 열발생은 없다. 주어진 온도는 일정하다.

풀이: 주어진 절점을 고려해 볼 때, 절점 1, 절점 3, 절점 7, 절점 9의 온도가 같고, 절점 2, 절점 4, 절점 6, 절점 8의 온도가 같다.

따라서 열발생이 없는 내부 절점의 유한차분식은 다음과 같다.

그러므로 각 절점에 대한 유한차분식은 다음과 같다.

위 연립방정식을 정리하고 각 절점에 대한 온도를 계산하면 다음과 같다.

열전달 5-52.docx

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

Fundamentals and Applications

-YUNUS A. CENGEL

-AFSHIN J. GHAJAR    

-유성연, 김경훈, 김병철, 김창녕, 이종붕, 조형희 공역

McGraw-Hill

문제 5-52

단면 그림이 주어진 긴 고체 봉의 절점 별 온도를 계산한다.

가정: 정상 2차원 열전달이며, 열발생은 없고, 열전도도와 절점 간격은 일정하다. 복사 열전달은 고려하지 않는다.

풀이: (a)의 절점을 고려해 볼 때, 절점 1과 절점 5를 기준으로 열적 대칭임을 알 수 있다.

따라서 절점 2와 절점 3에서의 온도가 같고, 절점 4와 절점 6에서의 온도가 같다.

또한 아래 부분의 단열된 면도 반사 상 개념을 적용하여 열발생이 없는 각 절점에서의 유한차분식은 다음과 같다.

위 연립방정식을 정리하면 다음과 같고,

각 절점의 온도를 계산하면 다음과 같다.

(b)의 절점을 고려할 때, 절점 1과 절점 4에서의 온도와 절점 2와 절점 3에서의 온도가 서로 같다.

또한 단열된 면도 반사 상 개념을 적용하여 열발생이 없는 갈 절점에서의 유한차분식을 세우면 다음과 같다.

그러므로 위의 연립방정식을 정리하고 절점의 온도에 대해 계산하면 다음과 같다.

열전달 5-51.docx

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

Fundamentals and Applications

-YUNUS A. CENGEL

-AFSHIN J. GHAJAR    

-유성연, 김경훈, 김병철, 김창녕, 이종붕, 조형희 공역

McGraw-Hill

문제 5-51

네 면에서의 온도가 주어진 정사각형 단면에서의 유한차분식과 Gauss-Seidal 반복법을 이용하여 절점 별 온도를 계산한다.

가정: 정상 2차원 열전달이며, 열발생은 없다.

풀이: (a) 열발생은 없고 주어진 절점은 모두 내부 절점으로 유한차분식은 다음과 같다.

따라서 각 절점에 대한 식은 다음과 같다.

(b) 각 절점에 대해 양함수법의 유한차분식으로 표현되어 있으므로 Gauss-Seidal 반복법으로 계산하면 다음과 같다.

Initial

Value 250     250     250     250

1     275.0      200.0     325.0     250.0

2     281.3     206.3     331.3     256.3

3     284.4     209.4     334.4     259.4

4     285.9     210.9     335.9     260.9

5     286.7     211.7     336.7     261.7

6     287.1     212.1     337.1     262.1

7     287.3     212.3     337.3     262.3

8     287.4     212.4     337.4     262.4

9     287.5     212.5     337.5     262.5

10     287.5     212.5     337.5     262.5

그러므로 각 절점 별 온도는 다음과 같다.

열전달 5-50.docx

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

Fundamentals and Applications

-YUNUS A. CENGEL

-AFSHIN J. GHAJAR    

-유성연, 김경훈, 김병철, 김창녕, 이종붕, 조형희 공역

McGraw-Hill

문제 5-50

직사각형 단면에서의 유한차분식과 절점별 온도를 계산한다.

가정: 정상 2차원 열전달이며, 열발생은 없다. 경계에서 주어진 온도는 일정하다.

풀이: (a) 각 절점의 간격은 10cm이다. 경계상의 절점은 모두 온도가 주어져 있으므로 절점 1~10은 모두 내부 절점이 된다.

따라서 열발생이 없는 한 절점에서의 유한차분식은 다음과 같다.

절점 위치에 따른 위 쪽의 온도는 다음과 같다.

따라서 각 절점에 대한 유한차분식은 다음과 같다.

(b) 그러므로 위 연립방정식을 정리하고 각 절점 별 온도에 대해 풀면 다음과 같다.

절점 3과 절점 8을 기준으로 대칭이므로 반사 상 개념을 이용하여 풀 수 있다.