귀여운 촌아의 작은상자

열전달 5-63.docx

HeatTransfer_5_63.m

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

Fundamentals and Applications

-YUNUS A. CENGEL

-AFSHIN J. GHAJAR    

-유성연, 김경훈, 김병철, 김창녕, 이종붕, 조형희 공역

McGraw-Hill

문제 5-63

일정한 열발생이 있고, 위, 아래, 오른쪽, 왼쪽의 온도가 주어진

정사각 단면 긴 고체 막대의 유한차분식과 Gauss-Seidal 반복법을 이용하여 절점 온도를 계산한다.

가정: 정사각형 단면의 긴 고체 막대는 길이 방향으로 온도 변화가 없는 2차원 정상 열전달이다.

열전도도와 열발생률, 주어진 온도는 일정하고 균일하다.

풀이: 주어진 절점의 간격은 다음과 같으므로

(a) 에너지 균형식을 이용한 각 절점에서의 유한차분식은 다음과 같다.

따라서 위 식을 Gauss-Seidal 반복법을 사용할 수 있도록 정리하면 다음과 같고,

(b) Gauss-Seidal 반복법을 이용하여 절점의 온도를 계산하면 다음과 같다.

Iteration	T1[℃]	T2[℃]	T3[℃]	T4[℃]
Initial Guess	250	250	250	250
1	280	205	330	255
2	288.75	213.75	338.75	263.75
3	293.125	218.125	343.125	268.125
……
21	297.5	222.5	347.5	275.5

Gauss-Seidal 반복법을 매트랩 Matlab을 이용하면 다음과 같다.

열전달 5-62.docx

HeatTransfer_5_62.m

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문제 5-62

문제 5-61을 EES 또는 다른 소프트웨어로 다시 계산한다.

가정: 모든 조건은 문제 5-61과 동일하다.

풀이: 문제에 주어진 콘스탄탄 블록은 아래 그림과 같이 좌우가 열적 대칭이므로 각 절점은 아래그림과 같다.

 

이때 윗면의 저항가열기에 의해 전달되는 열유속은 다음과 같고,

절점의 간격은 x방향과 y방향이 같으므로 다음과 같다.

주어진 체적 요소에서의 에너지 균형식은 다음과 같으므로

(a) 각 절점에서의 유한차분식은 다음과 같고,

양 옆면에서 얼음물로 전달되는 열전달률은 다음과 같이 계산된다.

따라서 EES를 이용하여 절점의 온도와 얼음물로의 열전달률을 다음과 같이 계산된다.

 

그러므로 (b) 절점의 온도는 다음과 같고,

(c) 열전달률은 다음과 같다.

매트랩 Matlab을 이용하면 solve() 함수를 이용하여 연립방정식을 풀고 절점의 온도와 열전달률을 다음과 같이 계산할 수 있다.

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열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

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문제 5-59

열발생과 열전도도가 일정한 기다란 고체에서 절점의 온도와 단위 길이 당 아랫면으로부터의 열손실률을 계산한다.

가정: 정상 2차원 열전달이며, 열전도도와 열발생은 일정하고 균일하다. 주어진 경계에서의 온도는 일정하다. 복사에 의한 열전달은 고려하지 않는다.

풀이: 절점의 간격은 Δx=Δy=l=4cm로 일정하고 2차원 정상 열전달이므로 체적 요소에 대한 에너지 균형식은 다음과 같고,

절점 1에서의 유한차분식은 다음과 같다.

단열면은 반사 상 개념을 이용하여 절점 2의 유한차분식은 다음과 같다.

절점 3은 내부 절점으로 유한차분식은 다음과 같다.

(a) 따라서 위의 유한차분식을 정리하고 각 방정식을 풀면 각 절점의 온도는 다음과 같다.

(b) 단위 길이 당 아랫면으로부터의 열손실률은 아랫면에서 대류에 의한 열전달과 같다.

따라서 아랫면의 각 절점의 온도를 이용하여 아랫면의 평균 온도를 구하면 다음과 같다.

따라서 단위 길이 당 아랫면으로부터의 열손실률은 다음과 같이 계산된다.

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문제 5-56

열발생이 일정한 정사각형 단면의 긴 고체에서 절점의 온도와 단위 길이 당 윗면의 열손실률을 계산한다.

가정: 정상 2차원 열전달이며, 열전도도와 열발생은 일정하고 균일하다. 주어진 경계에서의 온도는 일정하다.

풀이: 주어진 절점을 고려해 볼 때, 절점 1과 절점 2의 온도가 같고, 절점 3과 절점 4의 온도가 서로 같다.

반사 상 개념을 이용하여 열발생이 일정한 내부 절점에서의 유한차분식을 구하면 다음과 같다.

따라서 각 절점에서의 유한차분식은 다음과 같고,

 

(a) 위 식을 정리하고 연립방정식을 풀면 각 절점에서의 온도를 구할 수 있다.

(b) 단위 길이 당 윗면으로부터의 열손실률은

높이 l/2, 길이 0.3m, 깊이 1m의 체적 요소에 대한 에너지 균형식으로부터 윗면의 열전달률로 구할 수 있다.

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문제 5-55

임의의 절점에서 정상 2차원 유한차분식을 에너지 균형으로부터 유도한다.

가정: 정상 2차원 열전달이며, 열전도도가 변화하고 열발생은 일정하다.

풀이: 직교 좌표계에서 x방향으로 Δx의 간격으로 M개의 절점으로, y방향으로 Δy의 간격으로 N개의 절점으로 이루어진 직사각형 망으로 나누고

z방향으로는 단위 길이 Δz=1로 생각하고, 이 절점들을 이중 첨자 표기 법을 이용하여 표시한다.

따라서 체적 요소는 ΔxＸΔyＸ1이며 이 요소에 대한 정상상태 에너지 균형식은 다음과 같다.

인접한 절점들 사이의 온도는 선형적으로 변화한다고 가정하고,

x방향의 열전달 면적은 ΔyＸ1=Δy이고, y방향의 열전달 면적은 ΔxＸ1=Δx가 되므로 위의 에너지 균형식은 아래와 같다.

각 항을 ΔxΔy로 나누고 간단히 하면 임의의 절점에 대하여 아래와 같다.

만약 x방향과 y방향의 절점 간격 Δx, Δy가 l로 같다면 위 식은 다음과 같이 정리할 수 있다.

따라서 임의의 절점 온도에 대한 식으로 정리하면 다음과 같다.

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문제 5-54

정사각형과 직사각형 단면의 긴 고체 봉에서 절점에 따른 유한차분식과 절점 별 온도를 계산한다.

가정: 정상 2차원 열전달이며, 열발생은 없다. 주어진 온도는 일정하다.

풀이: (a) 주어진 절점을 고려해 볼 때, 절점 2와 절점 3의 온도가 같다.

반사 상 개념을 이용하여 열발생이 없는 내부 절점에서의 유한차분식을 구하면 다음과 같다.

따라서 위의 유한차분식을 정리하고 절점의 온도를 구하면 다음과 같다.

(b) 주어진 절점을 고려해 볼 때, 절점 1과 절점 2의 온도가 같고, 절점 3과 절점 4의 온도가 같다.

단열된 면에 반사 상 개념을 적용하여 열발생이 없는 내부 절점에서의 유한차분식을 구하면 다음과 같다.

따라서 위의 유한차분식을 정리하고 절점의 온도를 구하면 다음과 같다.

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문제 5-53

네 면의 온도가 주어진 정사각형 단면의 긴 고체에서의 유한차분식과 주어진 절점에서의 온도를 구한다.

가정: 정상 2차원 열전달이며, 열발생은 없다. 주어진 온도는 일정하다.

풀이: 주어진 절점을 고려해 볼 때, 절점 1, 절점 3, 절점 7, 절점 9의 온도가 같고, 절점 2, 절점 4, 절점 6, 절점 8의 온도가 같다.

따라서 열발생이 없는 내부 절점의 유한차분식은 다음과 같다.

그러므로 각 절점에 대한 유한차분식은 다음과 같다.

위 연립방정식을 정리하고 각 절점에 대한 온도를 계산하면 다음과 같다.

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문제 5-52

단면 그림이 주어진 긴 고체 봉의 절점 별 온도를 계산한다.

가정: 정상 2차원 열전달이며, 열발생은 없고, 열전도도와 절점 간격은 일정하다. 복사 열전달은 고려하지 않는다.

풀이: (a)의 절점을 고려해 볼 때, 절점 1과 절점 5를 기준으로 열적 대칭임을 알 수 있다.

따라서 절점 2와 절점 3에서의 온도가 같고, 절점 4와 절점 6에서의 온도가 같다.

또한 아래 부분의 단열된 면도 반사 상 개념을 적용하여 열발생이 없는 각 절점에서의 유한차분식은 다음과 같다.

위 연립방정식을 정리하면 다음과 같고,

각 절점의 온도를 계산하면 다음과 같다.

(b)의 절점을 고려할 때, 절점 1과 절점 4에서의 온도와 절점 2와 절점 3에서의 온도가 서로 같다.

또한 단열된 면도 반사 상 개념을 적용하여 열발생이 없는 갈 절점에서의 유한차분식을 세우면 다음과 같다.

그러므로 위의 연립방정식을 정리하고 절점의 온도에 대해 계산하면 다음과 같다.

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문제 5-51

네 면에서의 온도가 주어진 정사각형 단면에서의 유한차분식과 Gauss-Seidal 반복법을 이용하여 절점 별 온도를 계산한다.

가정: 정상 2차원 열전달이며, 열발생은 없다.

풀이: (a) 열발생은 없고 주어진 절점은 모두 내부 절점으로 유한차분식은 다음과 같다.

따라서 각 절점에 대한 식은 다음과 같다.

(b) 각 절점에 대해 양함수법의 유한차분식으로 표현되어 있으므로 Gauss-Seidal 반복법으로 계산하면 다음과 같다.

Initial

Value 250     250     250     250

1     275.0      200.0     325.0     250.0

2     281.3     206.3     331.3     256.3

3     284.4     209.4     334.4     259.4

4     285.9     210.9     335.9     260.9

5     286.7     211.7     336.7     261.7

6     287.1     212.1     337.1     262.1

7     287.3     212.3     337.3     262.3

8     287.4     212.4     337.4     262.4

9     287.5     212.5     337.5     262.5

10     287.5     212.5     337.5     262.5

그러므로 각 절점 별 온도는 다음과 같다.

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문제 5-50

직사각형 단면에서의 유한차분식과 절점별 온도를 계산한다.

가정: 정상 2차원 열전달이며, 열발생은 없다. 경계에서 주어진 온도는 일정하다.

풀이: (a) 각 절점의 간격은 10cm이다. 경계상의 절점은 모두 온도가 주어져 있으므로 절점 1~10은 모두 내부 절점이 된다.

따라서 열발생이 없는 한 절점에서의 유한차분식은 다음과 같다.

절점 위치에 따른 위 쪽의 온도는 다음과 같다.

따라서 각 절점에 대한 유한차분식은 다음과 같다.

(b) 그러므로 위 연립방정식을 정리하고 각 절점 별 온도에 대해 풀면 다음과 같다.

절점 3과 절점 8을 기준으로 대칭이므로 반사 상 개념을 이용하여 풀 수 있다.