귀여운 촌아의 작은상자

핀 휜 열전달 미분방정식 풀이.docx

PinFin_HeatTransfer_DE.m

매트랩 Matlab을 이용한 핀 휜 pin fin의 열전달 미분방정식 Differential Equation 풀이

매트랩을 이용하여 핀 pin 휜 fin의 열전달 미분방정식을 풀고, 온도분포식을 구한다.

환경:   OS – Windows 7 Ultimate K SP1 64bit

MATLAB – R2016a (9.0.0341360) 64-bit

가정: 핀 pin 휜 fin의 단면적은 일정하고 단면 방향의 온도는 일정하다. 휜 바닥의 온도와 주위 공기의 온도, 대류열전달계수, 휜의 열전도도, 휜의 길이는 일정하고 균일한 값을 가진다. 휜은 원통형이라고 가정하며 복사에 의한 열전달과 열발생 등은 고려하지 않는다. 주어진 열전달 과정은 정상상태 이다.

풀이: 임의의 위치 x에서 미소 길이가 Δx인 체적요소 ΔV의 온도가 T인 휜을 고려할 때, 정상상태에 대한 체적요소 계의 에너지 평형식은 다음과 같다.

주어진 휜 체적요소는 대류와 전도에 의해 열전달이 일어나므로 에너지 평형식은 아래와 같고,

이때 휜 체적요소의 대류에 의한 외부로의 열전달률은 아래와 같으므로

에너지 평형식은 아래와 같이 정리할 수 있다.

여기에 Δx에 대해 극한을 취하면 다음과 같이 미분식으로 변환할 수 있다.

이때 전도 열전달률은 아래와 같으므로

위의 미분식은 다음과 같이 정리할 수 있다.

휜의 온도와 외부 공기 온도의 차를 다음과 같다고 할 때,

휜의 미분방정식은 아래와 같이 간단히 나타낼 수 있다.

즉, 휜의 양 끝에 대한 경계조건이 주어진 미분방정식이며, 휜 바닥(x=0)에서의 경계조건은 다음과 같고,

휜 끝(x=L)에서의 4가지 경계조건은 각각 다음과 같다.

Case 1: 무한히 긴 휜

휜의 길이가 충분히 길어서 휜 끝의 온도가 주위 공기 온도와 같다고 할 수 있는 경우에 휜 끝 온도의 경계조건은 다음과 같다.

Case 2: 단열된 휜 끝

휜 끝이 단열된 경우 휜 끝에서의 경계조건은 휜 끝의 에너지 평형식에서 구할 수 있다.

Case 3: 휜 끝 특정 온도

휜 끝의 온도를 알고 있거나 특정 온도로 고정되어 있을 때 경계조건은 다음과 같다.

Case 4: 휜 끝 대류 열전달

휜 끝에 대류 열전달이 일어나는 경우 휜 끝에서의 경계조건은 휜 끝의 에너지 평형식에서 구할 수 있다.

결과: 위의 경계조건을 고려하여 매트랩 프로그램에서 m-file을 작성하면 아래와 같다.

이를 실행하면 매트랩의 명령창 command window에 나타나는 결과는 아래와 같다.

1번 경우에 대한 온도 분포 식

검토에 계속

2번 경우에 대한 온도 분포 식

3번 경우에 대한 온도 분포 식

4번 경우에 대한 온도 분포 식

검토: 결과를 검토해보면 1번 경우(무한히 긴 휜)에 대한 온도분포 미분방정식 풀이가 제대로 되지 않았음을 알 수 있으며 이는 D 경우 경계조건의 무한대 값(코드의 Inf: ∞)에 의한 것임을 알 수 있다. 따라서 dsolve() 함수를 이용하여 미분방정식을 해결한 뒤 limit() 함수를 이용하여 휜의 길이가 매우 긴 경우에 대해 수식을 아래와 같이 정리한다.

하지만 결과를 다시 살펴보면 limit() 함수가 제대로 풀이되지 않음을 알 수 있다.

이는 심볼릭 변수 m에 의한 것으로 m의 값에 따라 극한의 값이 달라질 수 있기 때문이다. 하지만 m의 값은 항상 양수 이므로 다음과 같이 수정하면 올바르게 결과를 얻을 수 있다.

결과: 각각의 휜 끝 조건에 대한 온도분포식은 다음과 같다.

1번 경우에 대한 온도 분포 식

2번 경우에 대한 온도 분포 식

3번 경우에 대한 온도 분포 식

4번 경우에 대한 온도 분포 식

열역학 4-123.docx

열역학 Thermodynamics 5th Edition.

Fundamentals and Applications

-Yunus A. Cengel

-Michael A. Boles

-부준홍 김덕줄 김세웅 김수현 신세현 이교우 정우남 최경민 공역

McGraw-Hill

문제 4-123

미지근한 물이 들어 있는 유리잔에 차가운 얼음 또는 물을 넣어 냉각시킬 때, 필요한 얼음 또는 물의 양을 계산한다.

가정: 유리잔의 물과 차가운 얼음 또는 차가운 물의 외부로의 열손실과 물의 증발은 고려하지 않는다.

물과 얼음의 비열, 그리고 대기압은 일정하다.

풀이: 냉각되는 미지근 물의 질량은 아래와 같으며

유리잔 안의 미지근한 물과 얼음 또는 차가운 물 전체를 계로 선택하면 외부로의 열전달과 질량 유량, 경계일 등이 없다.

따라서 에너지 평형은 다음과 같다.

이때 물과 얼음의 비열은 일정하고 최종 온도가 대기압 하에서 5℃이므로 얼음이 아닌 물만 존재하는 상태이다.

따라서 냉각을 위해 얼음을 넣는다면 얼음에서 물로 상변화 또한 존재하므로 위 식은 아래와 같다.

(a) 물과 얼음의 비열을 부록의 TABLE A-3 Properties of common liquids, solids, and foods를 참고하여

위 식에 각각 값을 대입하고 계산하면 0℃ 얼음을 넣을 때 필요한 양은 다음과 같다.

(b) 얼음의 온도가 -8℃일 때 필요한 얼음의 양은 다음과 같이 계산된다.

만약 얼음이 아닌 0℃의 물을 넣는다면 얼음에 대한 열전달이 없으므로 다음과 같이 계산된다.

열역학 4-122.docx

열역학 Thermodynamics 5th Edition.

Fundamentals and Applications

-Yunus A. Cengel

-Michael A. Boles

-부준홍 김덕줄 김세웅 김수현 신세현 이교우 정우남 최경민 공역

McGraw-Hill

문제 4-122

한 남자가 체온을 내리기 위해 냉수를 마셨을 때, 냉수에 의한 평균 체온 강하를 계산한다.

가정: 문제에 주어진 남자는 외부로의 열전달은 없다고 가정하며 신진대사에 의한 열발생도 없다고 가정한다.

인체의 평균 비열은 일정하며 마신 물의 비열 또한 일정하고 균일하다. 마신 냉수와 인체는 열적 평형을 이루고 있다.

풀이: 물의 밀도와 비열은 TABLE A-3을 참고하여 아래와 같고,

따라서 물의 질량은 아래와 같다.

이때 남자의 신체와 마신 냉수 전체를 계로 선택하면 열발생 및 열유입, 열유출이 없고 질량 변화, 경계일이 없다.

따라서 계의 에너지 평형식은 다음과 같다.

그러므로 신체와 마신 물의 최종 온도가 서로 같으므로 위의 에너지 평형식은 아래와 같고,

이 사람의 평균 체온 강하는 다음과 같다.

열역학 4-121.docx

열역학 Thermodynamics 5th Edition.

Fundamentals and Applications

-Yunus A. Cengel

-Michael A. Boles

-부준홍 김덕줄 김세웅 김수현 신세현 이교우 정우남 최경민 공역

McGraw-Hill

문제 4-121

밤 열량계(Bomb Calorimeter)의 반응실(Combustion Chamber) 속에 식품 표본을 연소하여 식품의 에너지 함량을 측정할 때,

식품의 에너지 함량을 계산한다.

가정: 식품 표본은 완전히 연소되며 연소 과정에서 발생한 열은 모두 물로 전달된다.

즉, 밤 열량계 전체의 열손실은 없으며 반응실에 저장된 에너지와 물 교반기에 공급된 에너지는 없다.

물의 온도는 항상 균일하고 물의 밀도와 비열은 균일하고 일정하다.

풀이: 밤 열량계(Bomb Calorimeter) 전체를 계로 선택하면 계의 에너지 평형은 다음과 같다.

물의 비열은 부록의 TABLE A-3을 참고하여 아래와 같이 일정하다.

그러므로 식품 표본이 연소하면서 물에 전달된 열량은 다음과 같이 계산된다.

이때 식품은 2g을 연소하여 얻어진 에너지이므로 식품의 에너지 함량은 아래와 같다.

반응실에 저장된 열에너지를 위에서 고려하지 않았지만 이로 인한 오차를 추정하기 위해 반응실에 저장된 열에너지를 고려한다.

반응실의 벽이나 기타 부수적인 구조물에 대한 열전달은 고려하지 않는다.

또한 반응실 내의 공기 온도는 물의 온도와 항상 같다고 가정하며 공기의 체적은 일정하게 유지된다.

따라서 반응실에 저장된 열에너지는 공기에 저장된 열에너지와 같으므로 반응실에 저장된 열에너지는 아래와 같이 계산된다.

반응실 안의 공기는 물에 비해 양과 비열이 작기 때문에 반응실 내부의 공기로 열절달이 매우 작다.

따라서 물로 전달된 에너지에 비해 매우 작기 때문에 그 오차가 미비하다.

열역학 4-120.docx

열역학 Thermodynamics 5th Edition.

Fundamentals and Applications

-Yunus A. Cengel

-Michael A. Boles

-부준홍 김덕줄 김세웅 김수현 신세현 이교우 정우남 최경민 공역

McGraw-Hill

문제 4-120

방의 난방을 1톤의 뜨거운 물로 24시간 동안 한다고 할 때, 물의 최소 온도를 계산한다

가정: 물과 공기의 비열은 일정하고 균일하다. 방의 열손실은 항상 일정하다. 방 안의 공기와 물의 온도는 균일하다.

풀이: 방 내부의 체적은 일정하고 잘 밀폐되어 있으며 물의 열에너지가 모두 공기로 전달된다.

물의 밀도와 비열 또한 균일하고 일정하므로 방 안의 공기의 체적 또한 일정하다.

따라서 방 내부 전체를 계로 선택하면 에너지 평형식은 다음과 같다.

이때 물의 열에너지를 이용하여 공기의 온도가 항상 일정하고 균일하게 유지된다면 공기의 내부에너지 변화는 없다.

에너지 평형식은 아래와 같다.

물의 비열은 TABLE A-3을 참고하여 아래와 같으므로

물의 최소 온도는 다음과 같이 계산된다.

열역학 4-119.docx

열역학 Thermodynamics 5th Edition.

Fundamentals and Applications

-Yunus A. Cengel

-Michael A. Boles

-부준홍 김덕줄 김세웅 김수현 신세현 이교우 정우남 최경민 공역

McGraw-Hill

문제 4-119

밀폐 및 단열이 잘 된 큰 방에 뜨거운 물 1톤을 옮겨 놓았을 때, 방의 최종 온도를 계산한다.

가정: 물과 공기의 비열과 질량은 일정하고 균일하다. 방 자체로의 열전달은 없으며, 방은 단열과 밀폐가 잘 되어있고,

운동 및 위치에너지 변화는 없다.

풀이: 방 안의 물과 공기의 비열은 부록의 TABLE A-2와 TABLE A-3을 참고하여 아래와 같다.

물의 밀도가 TABLE A-3을 참고하여 아래와 같을 때,

방 안에서 공기가 차지하는 부피는 다음과 같다.

상온의 공기를 이상기체라고 가정할 때, 이상기체 방정식을 이용하여 공기의 질량을 계산하면 아래와 같다.

이때 방은 단열되어 에너지와 질량의 유출입과 경계일이 없으므로 방 안의 물과 공기를 계로 선택하면 에너지 평형식은 아래와 같고,

최종 온도는 물과 공기 서로 같으므로 위 식은 아래와 같다.

열역학 4-118.docx

열역학 Thermodynamics 5th Edition.

Fundamentals and Applications

-Yunus A. Cengel

-Michael A. Boles

-부준홍 김덕줄 김세웅 김수현 신세현 이교우 정우남 최경민 공역

McGraw-Hill

문제 4-118

전기 저항 가열기로 물을 온도를 상승시키는데 걸리는 시간을 구한다.

가정: 물의 질량 및 밀도, 비열 등의 상태량은 일정하며, 전기 저항 가열기에서 발생된 열은 모두 물로 전달되며

물의 열손실은 없다고 가정한다.

풀이: 전기 저항 가열기에 의해 가열되는 물 전체를 계로 선택하면 계의 경계를 통과하는 질량 및 운동에너지와 위치에너지 변화는 없다. 

물의 밀도는 일정하므로 경계일 또한 없으므로 에너지 평형식은 다음과 같다.

물의 비열은 일정하므로 전기 저항 가열기에서 물로 전달된 열량은 다음과 같다.

그러므로 물을 가열하는데 걸리는 시간은 아래와 같이 계산된다.

열역학 4-117.docx

열역학 Thermodynamics 5th Edition.

Fundamentals and Applications

-Yunus A. Cengel

-Michael A. Boles

-부준홍 김덕줄 김세웅 김수현 신세현 이교우 정우남 최경민 공역

McGraw-Hill

문제 4-117

물이 들어 있는 유리 용기에 낮 동안에 태양 에너지를 저장하여 난방을 하는 태양열 집이 외부로의 열손실이 일정한 겨울 밤에

일정한 온도를 유지하기 위하여 추가로 전기 가열기를 작동하는 시간을 계산한다.

가정: 태양열 집의 겨울 밤 동안에 열손실률은 일정하다. 유리 용기에 들어있는 물의 비열 및 밀도는 일정하고 균일하다.

태양열 집은 유리 용기에 저장된 에너지와 예비 전기 가열기 외에 공급되는 에너지는 없다고 가정한다.

풀이: 겨울 밤에 태양열 집이 손실되는 열손실량은 아래와 같고

유리 용기 내부의 물에 저장되어 있는 열량은 아래와 같다.

따라서 밤 동안 자동 온도 제어 장치가 부착된 예비 전기 가열기로 충당 해야하는 열량은 다음과 같다.

(a) 그러므로 밤 동안 전기 가열기가 가동되는 시간은 아래와 같다.

(b) 태양 난방 시설이 없는 경우 전기 가열기가 가동되는 시간은 다음과 같이 계산된다.

열역학 4-116.docx

열역학 Thermodynamics 5th Edition.

Fundamentals and Applications

-Yunus A. Cengel

-Michael A. Boles

-부준홍 김덕줄 김세웅 김수현 신세현 이교우 정우남 최경민 공역

McGraw-Hill

문제 4-116

동일한 질량 및 상태의 이상기체가 피스톤-실린더 기구와 견고한 용기에 들어 있을 때,

양쪽 계의 온도를 동일하게 올리기 위해 전달해야하는 열을 구한다.

가정: 피스톤-실린더 기구와 견고한 용기는 밀폐 및 고정되어 운동에너지와 위치에너지 변화가 없다.

피스톤-실린더 기구와 견고한 용기로의 열전달은 고려하지 않으며 모든 과정은 준평형 과정이다.

풀이: 피스톤-실린더 용기를 A, 견고한 용기를 B라고 하고 각 내부의 이상기체를 계로 선택하면

피스톤 실린더 기구에서만 경계일이 존재하고 경계를 통과하는 질량이 없다. 따라서 각각의 계에 대한 에너지 평형식은 다음과 같다.

이때 실린더 내부와 용기 내의 이상기체가 비열이 일정하다고 가정하면 아래와 같고,

이상기체의 정압비열과 정적비열 사이의 관계는 다음과 같으므로

실린더 내의 기체에 추가로 전달해야 할 열은 아래와 같다.

그러므로 피스톤-실린더 기체에 추가로 전달해야 할 열은 다음과 같이 계산된다.

열역학 4-115.docx

열역학 Thermodynamics 5th Edition.

Fundamentals and Applications

-Yunus A. Cengel

-Michael A. Boles

-부준홍 김덕줄 김세웅 김수현 신세현 이교우 정우남 최경민 공역

McGraw-Hill

문제 4-115

헬륨 기체가 들어 있는 피스톤-실린더 기구가 폴리트로픽 과정으로 압축될 때, 이 과정 동안 열전달량을 구한다.

가정: 피스톤 실린더 기구는 밀폐 및 고정되어 운동 및 위치에너지 변화가 없다. 주어진 과정은 준평형 과정이다.

풀이: 피스톤 실린더 기구 내의 헬륨 기체의 임계점과 기체 상수는 부록의

Molar mass, gas constant, and critical-point properties TABLE A-1

몰 질량, 기체상수 그리고 임계점 특성표 TABLE A-1을 참고하여 아래와 같다.

따라서 주어진 과정에서 헬륨 기체는 임계점보다 온도가 높고, 압력이 낮으므로 이상기체라고 가정할 수 있고,

피스톤-실린더 기구 내부의 헬륨 기체를 계로 선택하면 계는 운동 및 위치에너지 변화와 계의 경계를 통과하는 질량은 없다.

단, 계의 경계를 통과하는 에너지와 경계일이 존재하므로 계의 에너지 평형식은 아래와 같다.

이상기체 상태 방정식을 이용하여 피스톤-실린더 기구 내 헬륨의 질량은 아래와 같이 계산된다.

최종 상태의 체적은 아래와 같이 계산되므로

폴리트로픽 과정에서의 압력-체적 관계식의 지수는 아래와 같이 계산된다.

과정 동안의 경계일은 아래와 같이 구할 수 있다.

이때 헬륨의 비열이 일정하다고 가정하여 과정 동안의 열전달량을 계산하면 다음과 같다.

따라서 헬륨은 압축되는 과정에서 열을 잃는다.