귀여운 촌아의 작은상자

PinFin_HeatTransfer_Ex1.m

핀 휜 열전달률 예제.docx

PinFin_HeatTransfer_Ex2.m

매트랩 Matlab을 이용한 핀 휜 pin fin의 열전달률 예제

매트랩 Matlab을 이용하여 핀 pin 휜 fin의 열전달 미분방정식을 풀어서 얻은 온도 함수식, 온도분포식을 이용하여 주어진 핀 휜에 대한 문제를 계산한다.

환경: OS – Windows 7 Ultimate K SP1 64bit

MATLAB – R2016a (9.0.0341360) 64-bit

문제: 열전달 문제 3-191의 문제를 매트랩 Matlab을 이용하여 푼다.

가정: 핀 pin 휜 fin의 단면적은 일정하고 단면 방향의 온도는 일정하다. 휜 바닥의 온도와 주위 공기의 온도, 대류열전달계수, 휜의 열전도도, 휜의 길이는 일정하고 균일한 값을 가진다. 휜은 원통형이라고 가정하며 복사에 의한 열전달과 열발생 등은 고려하지 않는다. 주어진 열전달 과정은 정상상태이다.

풀이: 문제에 주어진 핀 휜 pin fin은 아래와 같다.

서로 다른 휜 끝의 경계조건에 대한 위치에 따른 휜 온도 그래프와 열전달률을 계산한다.

(심볼릭 변수와 subs(), eval() 함수 등의 사용을 최소화하기 위해 위와 같이 변수를 선언하여 사용하며, 심볼릭 변수를 사용한 뒤, subs() 함수를 이용하여 대입 및 계산한 매트랩 m-file은 따로 첨부한다.)

결과: 각각의 경우에 대해 핀 휜 위치 온도 그래프는 다음과 같고,

핀 휜을 통한 열전달률은 다음과 같다.

PinFin_HeatTransfer.m

핀 휜 열전달률.docx

매트랩 Matlab을 이용한 핀 휜 pin fin의 열전달률

매트랩 Matlab을 이용하여 핀 pin 휜 fin의 열전달 미분방정식을 풀어서 얻은 온도 함수식, 온도분포식을 이용하여 핀 휜의 열전달률 식을 구한다.

환경:   OS – Windows 7 Ultimate K SP1 64bit

MATLAB – R2016a (9.0.0341360) 64-bit

가정: 핀 pin 휜 fin의 단면적은 일정하고 단면 방향의 온도는 일정하다. 휜 바닥의 온도와 주위 공기의 온도, 대류열전달계수, 휜의 열전도도, 휜의 길이는 일정하고 균일한 값을 가진다. 휜은 원통형이라고 가정하며 복사에 의한 열전달과 열발생 등은 고려하지 않는다. 주어진 열전달 과정은 정상상태이다.

풀이: 앞서서 구한 핀 휜 pin fin의 온도 함수 및 온도분포식을 이용하여 핀 휜을 통한 열전달률 식을 구한다. 휜의 표면을 통해 공기로 전달되는 열전달률은 휜 바닥을 통해 휜으로 전달되는 열전달률과 같으므로 아래와 같다.

따라서 휜으로부터의 열전달률은 Fourier의 열전도 법칙을 이용하여 다음과 같다.

이때 각각의 휜 끝 조건에 대한 온도분포식은 다음과 같고,

Case 1: 무한히 긴 휜

Case 2: 단열된 휜 끝

Case 3: 휜 끝 특정 온도

Case 4: 휜 끝 대류 열전달

매트랩을 이용하여 각각의 열전달률 식을 구하는 m-file은 다음과 같다.

결과: 각각의 휜 끝 조건에 따른 휜의 열전달률 식은 다음과 같다.

1번 경우에 대한 열전달률

2번 경우에 대한 열전달률

3번 경우에 대한 열전달률

4번 경우에 대한 열전달률

핀 휜 열전달 미분방정식 풀이.docx

PinFin_HeatTransfer_DE.m

매트랩 Matlab을 이용한 핀 휜 pin fin의 열전달 미분방정식 Differential Equation 풀이

매트랩을 이용하여 핀 pin 휜 fin의 열전달 미분방정식을 풀고, 온도분포식을 구한다.

환경:   OS – Windows 7 Ultimate K SP1 64bit

MATLAB – R2016a (9.0.0341360) 64-bit

가정: 핀 pin 휜 fin의 단면적은 일정하고 단면 방향의 온도는 일정하다. 휜 바닥의 온도와 주위 공기의 온도, 대류열전달계수, 휜의 열전도도, 휜의 길이는 일정하고 균일한 값을 가진다. 휜은 원통형이라고 가정하며 복사에 의한 열전달과 열발생 등은 고려하지 않는다. 주어진 열전달 과정은 정상상태 이다.

풀이: 임의의 위치 x에서 미소 길이가 Δx인 체적요소 ΔV의 온도가 T인 휜을 고려할 때, 정상상태에 대한 체적요소 계의 에너지 평형식은 다음과 같다.

주어진 휜 체적요소는 대류와 전도에 의해 열전달이 일어나므로 에너지 평형식은 아래와 같고,

이때 휜 체적요소의 대류에 의한 외부로의 열전달률은 아래와 같으므로

에너지 평형식은 아래와 같이 정리할 수 있다.

여기에 Δx에 대해 극한을 취하면 다음과 같이 미분식으로 변환할 수 있다.

이때 전도 열전달률은 아래와 같으므로

위의 미분식은 다음과 같이 정리할 수 있다.

휜의 온도와 외부 공기 온도의 차를 다음과 같다고 할 때,

휜의 미분방정식은 아래와 같이 간단히 나타낼 수 있다.

즉, 휜의 양 끝에 대한 경계조건이 주어진 미분방정식이며, 휜 바닥(x=0)에서의 경계조건은 다음과 같고,

휜 끝(x=L)에서의 4가지 경계조건은 각각 다음과 같다.

Case 1: 무한히 긴 휜

휜의 길이가 충분히 길어서 휜 끝의 온도가 주위 공기 온도와 같다고 할 수 있는 경우에 휜 끝 온도의 경계조건은 다음과 같다.

Case 2: 단열된 휜 끝

휜 끝이 단열된 경우 휜 끝에서의 경계조건은 휜 끝의 에너지 평형식에서 구할 수 있다.

Case 3: 휜 끝 특정 온도

휜 끝의 온도를 알고 있거나 특정 온도로 고정되어 있을 때 경계조건은 다음과 같다.

Case 4: 휜 끝 대류 열전달

휜 끝에 대류 열전달이 일어나는 경우 휜 끝에서의 경계조건은 휜 끝의 에너지 평형식에서 구할 수 있다.

결과: 위의 경계조건을 고려하여 매트랩 프로그램에서 m-file을 작성하면 아래와 같다.

이를 실행하면 매트랩의 명령창 command window에 나타나는 결과는 아래와 같다.

1번 경우에 대한 온도 분포 식

검토에 계속

2번 경우에 대한 온도 분포 식

3번 경우에 대한 온도 분포 식

4번 경우에 대한 온도 분포 식

검토: 결과를 검토해보면 1번 경우(무한히 긴 휜)에 대한 온도분포 미분방정식 풀이가 제대로 되지 않았음을 알 수 있으며 이는 D 경우 경계조건의 무한대 값(코드의 Inf: ∞)에 의한 것임을 알 수 있다. 따라서 dsolve() 함수를 이용하여 미분방정식을 해결한 뒤 limit() 함수를 이용하여 휜의 길이가 매우 긴 경우에 대해 수식을 아래와 같이 정리한다.

하지만 결과를 다시 살펴보면 limit() 함수가 제대로 풀이되지 않음을 알 수 있다.

이는 심볼릭 변수 m에 의한 것으로 m의 값에 따라 극한의 값이 달라질 수 있기 때문이다. 하지만 m의 값은 항상 양수 이므로 다음과 같이 수정하면 올바르게 결과를 얻을 수 있다.

결과: 각각의 휜 끝 조건에 대한 온도분포식은 다음과 같다.

1번 경우에 대한 온도 분포 식

2번 경우에 대한 온도 분포 식

3번 경우에 대한 온도 분포 식

4번 경우에 대한 온도 분포 식

DifferentialEquationProblems.m

InitialValueBoundaryValueProblems.m

매트랩을 이용한 미분방정식 풀이 예제.docx

매트랩 Matlab 프로그램을 이용한 미분방정식 Differential Equation 풀이

매트랩 Matlab을 이용하여 다양한 미분방정식 Differential Equation을 풀어본다.

환경:    OS – Windows 7 Ultimate K SP1 64bit

MATLAB – R2016a (9.0.0341360) 64-bit

문제: n계 선형 상미분방정식 Linear Ordinary Differential Equation

1. 1st-order Linear Homogeneous ODE (Non-autonomous)

2. 2nd-order Linear Homogeneous ODE (Autonomous)

3. 2nd-order Linear Nonhomogeneous ODE (Non-autonomous)

4. 3rd-order Linear Nonhomogeneous ODE (Non-autonomous)

n계 비선형 상미분방정식 Nonlinear Ordinary Differential Equation

1. 1st-order Nonlinear ODE – 종속변수의 2차 거듭제곱

2. 1st-order Nonlinear ODE – 종속변수가 지수

3. 2nd-order Nonlinear ODE – 2계 도함수의 거듭제곱 및 종속변수 거듭제곱

4. 2nd-order Nonlinear ODE – 1계 도함수의 거듭제곱

5. 2nd-order Nonlinear ODE – 2계 도함수의 계수함수에 종속변수 포함 및 1계 도함수 거듭제곱

풀이: 위의 문제를 매트랩 m-file로 작성하여 dsolve() 함수를 이용하여 풀이

문제: n계 초기값 문제 Initial Value Problem

1. 2nd-order Linear Nonhomogeneous ODE (Non-autonomous) IVP

초기조건:

2. 2nd-order Linear Nonhomogeneous ODE (Non-autonomous) IVP

초기조건:

3. 2nd-order Linear Nonhomogeneous ODE (Non-autonomous) IVP

초기조건:

4. 3rd-order Linear Homogeneous ODE (Autonomous) IVP

초기조건:

n계 경계값 문제 Boundary Value Problem

1. 2nd-order Linear Homogeneous ODE (Autonomous) BVP

경계조건 1:

경계조건 2:

경계조건 3:

2. 2nd-order Linear Nonhomogeneous ODE (Non-autonomous) BVP

경계조건 1:

경계조건 2:

3. 2nd-order Linear Nonhomogeneous ODE (Non-autonomous) BVP

경계조건:

4. 2nd-order Linear Nonhomogeneous ODE (Non-autonomous) BVP

경계조건:

풀이: 위의 문제를 매트랩 m-file로 작성하여 dsolve() 함수를 이용하여 풀이

매트랩을 이용한 미분방정식 풀이.docx

매트랩 Matlab 프로그램을 이용한 미분방정식 풀이

매트랩 Matlab의 diff() 함수와 dsolve() 함수를 이용하여 미분방정식을 푼다.

환경:   OS – Windows 7 Ultimate K SP1 64bit

MATLAB – R2016a (9.0.0341360) 64-bit

예시: 매트랩 Matlab의 명령창 Command Window에서 dsolve() 함수를 아래와 같이 사용할 수 있다.

설명: 매트랩의 미분방정식을 푸는 함수인 dsolve() 함수는 아래와 같이 사용된다.

 dsolve(f)

 dsolve(f, x)

 dsolve(f, cond1, cond2)

즉, dsolve() 함수의 인자로 반드시 미분방정식 하나를 입력해야 하고, 필요에 따라서 독립변수 또는 초기값 조건과 경계값 조건을 입력한다. dsovle() 함수로 풀이할 미분방정식과 초기 및 경계 조건의 종속 및 독립변수는 반드시 심볼릭 함수 Symbolic functions과 심볼릭 변수 Symbolic variables로 구성되어 있어야 한다. 이때 독립변수와 초기, 경계 조건은 같이 사용할 수 없는데, 독립변수 인자는 입력하지 않아도 되므로 이후의 설명에서는 생략한다. 정리하면 dsolve() 함수는 다음과 같은 형식으로 사용된다.

 dsolve([미분방정식:심볼릭 변수/함수], {초기/경계 조건}, {초기/경계 조건}, …, {초기/경계 조건})

[인자] 대괄호 안의 심볼릭 변수와 함수로 이루어진 미분방정식은 반드시 입력되어야 하지만, {인자} 중괄호 안의 인자는 초기값 조건 또는 경계값 조건에 대한 식으로 미분방정식에 따라 입력한다. 초기/경계 조건이 없으면 풀이된 미분방정식의 해에는 상수가 포함되어 나타나게 된다.

초기/경계 조건없이 dsolve() 함수를 이용하여 미분방정식을 풀면 위와 같이 미분방정식의 해는 적분상수를 포함하고 있다. 적분상수는 C14, C24, C25 등등 대문자 C와 숫자로 표현되며, 매트랩 프로그램에서 자동으로 할당하므로 과정에 따라 적분상수 이름의 숫자는 매번 바뀐다. 다음과 같이 초기/경계 조건이 주어질 경우 미분방정식의 해는 다음과 같이 출력된다.

미분방정식은 위와 같이 도함수를 다른 변수에 할당하고 미분방정식을 만들거나 diff() 함수 자체를 포함한 미분방정식을 변수에 할당 또는 dsolve() 함수에 바로 사용할 수 있다. 초기/경계 조건의 경우, 심볼릭 함수를 이용하여 값을 입력하여 사용하거나 subs() 함수를 이용하여 독립변수에 값을 할당하여 초기/경계 조건을 설정할 수 있다. 위와 같은 방법들로 dsolve() 함수를 사용하여 미분방정식을 풀 수 있지만, 복잡한 수식이나 고계 미분방정식에서는 변수와 함수 사용이 복잡하다. 이때 dsolve() 함수에는 다음과 같이 미분방정식 및 초기/경계 조건을 사용할 수 있다.

위와 같이 미분방정식 및 초기/경계 조건을 문자열로 할당하고 도함수는 문자열 D를 이용하여 표현한다. 즉, 함수 y의 도함수는 Dy, 2계 도함수는 D2y, 3계 도함수는 D3y 등으로 표현되며 반드시 문자열 내에서만 사용가능하다. 위와 같은 방법은 개인적으로 미분방정식 풀이 사용에 더 편하다고 생각되어 이후의 내용에는 문자열로 표현하여 풀이한다. 단, 위와 같이 문자열을 이용하여 미분방정식을 풀 때 심볼릭 변수 사용에 주의해야 한다.

문자열로 미분방정식을 표현하여 미분방정식을 풀이할 때 독립변수는 이전의 어떠한 변수 선언과 상관없이 t로 선언되므로 이에 주의하며, 종속변수를 따로 설정하지 않아도 D 문자 뒤의 문자를 종속변수로 자동 인식한다. 하지만 위와 같이 심볼릭 변수를 사용하지 않고 미분방정식을 풀 경우 아래와 같이 모든 문자가 변수로 인식되지 않으므로 해 함수에 대입, subs() 함수를 이용한 대입을 사용할 수 없다.

즉, 아래와 같이 필요한 심볼릭 변수를 선언하여 값을 대입할 수 있도록 한다.

요약: 미분방정식 풀이에 사용될 변수와 함수는 모두 심볼릭 변수와 심볼릭 함수로 미리 선언하여 후에 상수를 대입할 수 있도록 하며, 문자열을 이용하여 미분방정식과 초기/경계 조건 식을 나타낸다. 문자열로 수식을 표현할 때, 미분식은 [D 문자 + n 계수 + 종속변수]를 이용하여 나타내고, 독립변수는 t로 자동 할당되므로 이에 유의하여 심볼릭 변수를 선언한다.

매트랩을 이용한 적분.docx

매트랩 Matlab 프로그램을 이용한 적분

매트랩 Matlab의 int() 함수를 이용하여 주어진 식을 적분한다.

환경:   OS – Windows 7 Ultimate K SP1 64bit

MATLAB – R2016a (9.0.0341360) 64-bit

예시: 매트랩 Matlab의 명령창 Command Window에서 int() 함수를 아래와 같이 사용할 수 있다.

설명: 매트랩의 int() 함수는 아래와 같이 사용되며,

 int(f)

 int(f, x)

 int(f, x, a, b)

int() 함수는 반드시 하나의 함수식을 입력해야 하고, 필요에 따라서 적분 변수와 적분 구간을 정할 수 있다. int() 함수에 사용할 함수식과 변수는 반드시 심볼릭 함수 Symbolic functions과 심볼릭 변수 Symbolic variables여야 한다. 즉, int() 함수는 다음과 같은 형식으로 사용된다.

 int([함수식:심볼릭 변수/함수], {적분변수:심볼릭 변수}, {하한, 상한})

[인자] 대괄호 안의 인자는 반드시 입력되어야 하지만, {인자} 중괄호 안의 인자는 필요에 따라 사용 및 생략이 가능하다. 즉, int() 함수에 함수식만 입력할 경우 매트랩에서 자동으로 독립변수를 선택하여 부정적분하며 하한과 상한을 입력하면 정적분한다.

 int(f) – 부정적분

 int(f, x) – 부정적분

 int(f, a, b) – 정적분

 int(f, x, a, b) – 정적분

위와 같이 int() 함수에 적분 구간의 인자가 주어지지 않으면 주어진 식을 부정적분 할 수 있다. 단, int() 함수를 이용한 부정적분의 결과에는 적분 상수가 없으므로 이에 주의해야 한다.

정적분의 경우 임의의 구간과 주어진 구간에 대해 모두 정적분이 가능하다.

추가: 매트랩에서 사용하는 int() 함수의 다른 사용방법과 또 다른 정적분 함수인 integral()에 대한 자세한 내용은 매트랩 Matlab의 도움말이나 공식 홈페이지의 문서를 참고하기 바랍니다.

매트랩을 이용한 미분.docx

매트랩 Matlab 프로그램을 이용한 미분

매트랩 Matlab의 미분 함수 diff()를 이용하여 주어진 식을 미분한다.

환경:   OS – Windows 7 Ultimate K SP1 64bit

MATLAB – R2016a (9.0.0341360) 64-bit

예시: 매트랩 Matlab의 명령창 Command Window에서 diff() 함수를 아래와 같이 사용할 수 있다.

설명: 매트랩의 diff() 함수는 아래와 같이 사용된다.

diff(f)

diff(f, x)

diff(f, x1, x2, …)

diff(f, x, n)

diff(diff(diff(diff(f), x1), x2), n)

위의 내용을 정리하면 diff() 함수의 인자는 반드시 함수식 하나를 입력 해야하고, 필요에 따라서 미분할 독립변수와 계수를 입력할 수 있다. diff() 함수에 사용할 함수식과 변수는 반드시 심볼릭 함수 Symbolic functions과 심볼릭 변수 Symbolic variables여야 한다. 또한 계수는 미분 계수이므로 반드시 0 이상의 자연수이다. diff() 함수는 위와 같이 중복 및 복합되어 사용할 수도 있다. 즉, diff() 함수는 다음과 같은 형식으로 사용된다.

diff([함수식:심볼릭 변수/함수], {독립변수:심볼릭 변수}, … , {계수:자연수}, …)

[인자] 대괄호 안의 인자는 반드시 입력되어야 하지만, {인자} 중괄호 안의 인자는 필요에 따라 사용 및 생략이 가능하다. 즉, diff() 함수에 함수식만 입력할 경우 매트랩에서 자동으로 독립변수를 선택하여 한번 미분 또는 편미분한다. 2계 미분 이상의 고계 미분은 아래와 같이 diff() 함수를 여러 번 사용하거나 추가 인자를 이용하여 아래와 같이 사용할 수 있다.

diff(diff(diff(f))) – 3계 미분

diff(diff(diff(f, x), x), x) – 3계 미분

diff(f, x, 3) – 3계 미분

diff(diff(f, x), 2) – 3계 미분

diff(diff(diff(f, x), 1)) – 3계 미분

diff() 함수로 미분하는 함수식은 아래와 같이 심볼릭 변수로 이루어진 식 또는 등식이거나

(매트랩에서 = 기호는 대입 연산자이므로 등식에서는 ‘같다’라는 의미의 == 기호를 사용해야한다.)

심볼릭 함수 Symbolic functions로 선언된 변수이여야 하므로 다음과 같이 사용할 수도 있다.

또한 상수 대신 심볼릭 변수를 이용한 미지 함수를 미분하거나

미지의 함수 자체를 diff() 함수를 이용하여 아래와 같이 미분 가능하다.

미지의 함수의 경우 위와 같이 미분 자체로 표현되며 이를 이용하여 미분방정식을 세울 수 있다. 예를 들어 다음의 2계 선형 상미분방정식의 경우 아래와 같이 매트랩에서 표현할 수 있다.

추가: diff() 함수의 다른 기능인 값의 차이를 구하는 부분은 설명을 생략하며, 이 부분에 대한 자세한 내용은 매트랩 Matlab의 도움말이나 공식 홈페이지의 문서를 참고하기 바랍니다.

기계진동 과목에서의 진동을 이용한 제품에 아이디어를 추가하여 새로운 제품에 대한

제안과 아이디어에 대한 설명을 발표하는 제안서 발표 자료 입니다.

전동 벨트에 훌라후프의 동작을 접목하고 진동 벨트 기능과 추가로 유도 전기를 이용하여

작은 발전까지 할 수 있도록하는 '아이디어'를 제안하였습니다.

HeatTransfer_5_17.m

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

Fundamentals and Applications

-YUNUS A. CENGEL

-AFSHIN J. GHAJAR    

-유성연, 김경훈, 김병철, 김창녕, 이종붕, 조형희 공역

McGraw-Hill

문제 5-17

HeatTransfer_5_16.m

열전달 HEAT AND MASS TRANSFER 4th Edition SI Units.

Fundamentals and Applications

-YUNUS A. CENGEL

-AFSHIN J. GHAJAR    

-유성연, 김경훈, 김병철, 김창녕, 이종붕, 조형희 공역

McGraw-Hill

문제 5-16